Solvencia

En lógica , la solidez puede referirse tanto a una propiedad de los argumentos como a una propiedad de los sistemas deductivos formales .

Un argumento es sólido si (y solo si) es válido en su forma y no tiene premisas falsas . ^{[ 1 ]}

Un sistema formal es sólido si (y solo si) toda fórmula bien formada que pueda probarse en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica lógica del sistema.

Estas dos propiedades son diferentes pero están estrechamente relacionadas. La primera es más relevante para contextos de razonamiento deductivo introductorio y la segunda surge en la metalógica y la lógica matemática .

Definición de argumentos

En el razonamiento deductivo , un argumento sólido es aquel que es válido y cuyas premisas son todas verdaderas (y, por consiguiente, su conclusión también lo es). Un argumento es válido si, asumiendo que sus premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Un ejemplo de argumento sólido es el siguiente silogismo bien conocido :

(instalaciones)

Todos los hombres son mortales.

Sócrates es un hombre.

(conclusión)

Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Debido a la necesidad lógica de la conclusión, este argumento es válido; y puesto que el argumento es válido y sus premisas son verdaderas, el argumento es sólido.

Sin embargo, un argumento puede ser válido sin ser sólido. Por ejemplo:

Todas las aves pueden volar.

Los pingüinos son aves.

Por lo tanto, los pingüinos pueden volar.

Este argumento es válido, ya que la conclusión debe ser verdadera si las premisas son verdaderas. Sin embargo, la primera premisa es falsa. No todas las aves pueden volar (por ejemplo, los pingüinos). Para que un argumento sea sólido, debe ser válido y sus premisas deben ser verdaderas. ^{[ 2 ]}

Algunos autores, como Lemmon , han utilizado el término «solidez» como sinónimo de lo que ahora se entiende por «validez» ^{[ 3 ]} , lo que los dejó sin una palabra específica para lo que hoy se denomina «solidez». Pero hoy en día, esta división de los términos está muy extendida.

Definición de sistemas formales

En lógica matemática , un sistema lógico posee la propiedad de solidez si toda fórmula que puede demostrarse en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del mismo. En la mayoría de los casos, esto se reduce a que sus reglas poseen la propiedad de preservar la verdad . ^{[ 4 ]} El recíproco de la solidez se conoce como completitud .

Un sistema lógico con implicación sintáctica $\vdash$ y la implicación semántica $\models$ es sólido si para cualquier secuencia $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ de oraciones en su idioma, si $A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C$ , entonces $A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C$ En otras palabras, un sistema es sólido cuando todos sus teoremas son válidos .

La solidez es una de las propiedades más fundamentales de la lógica matemática. Esta propiedad constituye la razón principal para considerar deseable un sistema lógico. La propiedad de completitud implica que toda validez (verdad) es demostrable. Juntas, implican que todas y solo las validez son demostrables.

La mayoría de las pruebas de solidez son triviales. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, en un sistema axiomático , la prueba de solidez consiste en verificar la validez de los axiomas y que las reglas de inferencia preservan dicha validez (o la propiedad más débil, la verdad). Si el sistema permite la deducción al estilo de Hilbert , solo requiere verificar la validez de los axiomas y una regla de inferencia, a saber, el modus ponens (y a veces la sustitución).

Las propiedades de solidez se presentan en dos variedades principales: solidez débil y solidez fuerte, siendo la primera una forma restringida de la segunda. La solidez fuerte es la definición dada anteriormente en esta sección, y la solidez débil la restringe a oraciones que pueden demostrarse sin premisas, es decir, cuando no hay oraciones a la derecha de los torniquetes.

Solidez débil

La solidez débil de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier enunciado que se pueda demostrar sin premisas en ese sistema deductivo también es verdadero en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica del idioma en el que se basa esa teoría. Simbólicamente escribimos, si $\vdash C$ entonces $\vDash C$ . Algunos escritores incluirán explícitamente el conjunto vacío, dando si $\emptyset \vdash C$ entonces $\emptyset \models C$ Utilizando la definición estricta de teorema, para oraciones que no se pueden demostrar a partir de premisas, la solidez débil dice que todos los teoremas son tautologías.

Fuerte solidez

La solidez de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración $C$ que se puede demostrar a partir de un conjunto (posiblemente vacío) de premisas/oraciones $\Gamma =\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\}$ es también una consecuencia semántica de ese conjunto, es decir, $C$ es cierto en cualquier modelo que haga que todos los miembros de $\Gamma$ . Simbólicamente escribimos, si $\Gamma \vdash C$ , entonces $\Gamma \modelos C$ . Observa que cuando $\Gamma$ está vacío, tenemos la afirmación de solidez débil.

Solidez aritmética

Si T es una teoría cuyos objetos de discurso pueden interpretarse como números naturales , decimos que T es aritméticamente correcta si todos sus teoremas son verdaderos respecto a los enteros matemáticos estándar. Para más información, véase la teoría ω-consistente .

Relación con la completitud

La inversa de la propiedad de solidez es la propiedad de completitud . Un sistema deductivo con una teoría semántica es fuertemente completo si cada oración $C$ esa es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones $\Gamma$ puede derivarse en el sistema deductivo de ese conjunto. En símbolos: si $\Gamma \modelos C$ entonces $\Gamma \vdash C$ La completitud de la lógica de primer orden fue establecida explícitamente por primera vez por Gödel , aunque algunos de los resultados principales estaban contenidos en trabajos anteriores de Skolem .

De manera informal, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las proposiciones demostrables son verdaderas. La completitud establece que todas las proposiciones verdaderas son demostrables.

El primer teorema de incompletitud de Gödel demuestra que, para lenguajes suficientes para realizar una cierta cantidad de operaciones aritméticas, no puede existir un sistema deductivo consistente y efectivo que sea completo con respecto a la interpretación prevista del simbolismo de dicho lenguaje. Por lo tanto, no todos los sistemas deductivos válidos son completos en este sentido particular de completitud, en el que la clase de modelos (salvo isomorfismo ) se restringe al modelo previsto. La prueba de completitud original se aplica a todos los modelos clásicos, no a una subclase propia especial de los modelos previstos.

Véase también

Referencias

↑ Smith, Peter (2010). "Tipos de sistema de prueba" (PDF) . pág. 5.
↑ Gensler, Harry J., 1945- (6 de enero de 2017). Introducción a la lógica (Tercera ed.). Nueva York. ISBN 978-1-138-91058-4OCLC 957680480 {{cite book}}: CS1 maint: falta el editor de la ubicación ( enlace ) CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
↑ Lemmon, Edward John (1998). Lógica básica . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-0-412-38090-7.
↑ Mindus, Patricia (18 de septiembre de 2009). Una mente brillante: la vida y obra de Axel Hägerström . Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2.
↑ Enderton, Herbert B. (2001). Introducción matemática a la lógica (2.ª ed.). Academic Press. págs. 131–132 . ISBN 978-0122384523.

Bibliografía

Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
Copi, Irving (1979), Lógica simbólica (5.ª ed.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7
Boolos, Burgess, Jeffrey. Computabilidad y lógica , 4.ª ed., Cambridge, 2002.

Enlaces externos

Validez y solidez en la Enciclopedia de Filosofía de Internet .

[1] Smith, Peter (2010). "Tipos de sistema de prueba" (PDF) . pág. 5.

[2] Gensler, Harry J., 1945- (6 de enero de 2017). Introducción a la lógica (Tercera ed.). Nueva York. ISBN 978-1-138-91058-4OCLC 957680480 {{cite book}}: CS1 maint: falta el editor de la ubicación ( enlace ) CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )

[3] Lemmon, Edward John (1998). Lógica básica . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-0-412-38090-7.

[4] Mindus, Patricia (18 de septiembre de 2009). Una mente brillante: la vida y obra de Axel Hägerström . Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2.

[Enderton2001-5] Enderton, Herbert B. (2001). Introducción matemática a la lógica (2.ª ed.). Academic Press. págs. 131–132 . ISBN 978-0122384523.

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