forma espacial

En matemáticas , una forma espacial es una variedad riemanniana completa M de curvatura seccional constante K. Los tres ejemplos más fundamentales son el espacio euclidiano n- dimensional , la esfera n- dimensional y el espacio hiperbólico , aunque una forma espacial no tiene por qué ser simplemente conexa .

El teorema de Killing-Hopf de la geometría riemanniana establece que la cubierta universal de un espacio n -dimensional forma${\displaystyle M^{n}}$con curvatura${\displaystyle K=-1}$es isométrico a ⁠${\displaystyle H^{n}}$⁠ , espacio hiperbólico ; con curvatura${\displaystyle K=0}$es isométrico a ⁠${\displaystyle R^{n}}$⁠ , espacio euclidiano n ; y con curvatura${\displaystyle K=+1}$es isométrico a${\displaystyle S^{n}}$, la esfera n -dimensional de puntos a distancia 1 del origen en${\displaystyle R^{n+1}}$.​

Al reescalar la métrica riemanniana en ⁠${\displaystyle H^{n}}$⁠ , podemos crear un espacio${\displaystyle M_{K}}$de curvatura constante${\displaystyle K}$para cualquier${\displaystyle K<0}$⁠ . De manera similar, al reescalar la métrica riemanniana en ⁠${\displaystyle S^{n}}$⁠ , podemos crear un espacio${\displaystyle M_{K}}$de curvatura constante${\displaystyle K}$para cualquier${\displaystyle K>0}$⁠ . De este modo, la cubierta universal de una forma espacial${\displaystyle M}$con curvatura constante${\displaystyle K}$es isométrico a ⁠${\displaystyle M_{K}}$.​

Esto reduce el problema del estudio de las formas espaciales al estudio de grupos discretos de isometrías.${\displaystyle \Gamma }$de${\displaystyle M_{K}}$que actúan de forma discontinua . Nótese que el grupo fundamental de${\displaystyle M}$,​​${\displaystyle \pi _{1}(M)}$⁠ , será isomorfo a ⁠${\displaystyle \Gamma }$⁠ . Grupos que actúan de esta manera en${\displaystyle R^{n}}$se denominan grupos cristalográficos . Grupos que actúan de esta manera en${\displaystyle H^{2}}$y${\displaystyle H^{3}}$Se denominan grupos fuchsianos y grupos kleinianos , respectivamente.

• Conjetura de Borel

• Goldberg, Samuel I. (1998), Curvatura y homología , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Variedades riemannianas: una introducción a la curvatura , Springer