Espacio de secuencias

Dejemos​${\displaystyle \mathbb {K} }$⁠ denotan el campo de los números reales o complejos. El conjunto ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$de todas las secuencias de elementos de${\displaystyle \mathbb {K} }$es un espacio vectorial parala suma componente a componente$${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$$ y multiplicación escalar por componentes$${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$$

Un espacio de sucesiones es cualquier subespacio lineal de ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ .

Como espacio topológico ,${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ está dotado naturalmente de la topología de producto . Bajo esta topología, ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ es Fréchet , lo que significa que es un espacio vectorial topológico (TVS) completo , metrizable y localmente  convexo . Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no haynormas continuas en ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ (y por lo tanto la topología del producto no puede definirse mediante ninguna norma ). ^{[ 1 ]} Entre los espacios de Fréchet, ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$Es mínimo al no tener normas continuas:

Pero la topología del producto también es inevitable :${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ no admite unatopología de Hausdorff estrictamente más gruesa y localmente convexa. ^{[ 1 ]} Por esa razón, el estudio de secuencias comienza por encontrar un subespacio lineal estricto de interés y dotarlo de una topología diferente de la topología del subespacio .

Para​${\displaystyle 0<p<\infty }$,​​${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$es el subespacio de${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ que consta de todas las secuencias${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$satisfactorio $${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Si​${\displaystyle p\geq 1}$⁠ , entonces la función de valor real${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$en​${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$definido por $${\displaystyle \|x\|_{p}~=~{\Bigl (}\sum _{n}|x_{n}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\qquad {\text{ para todo }}x\in \ell ^{p}}$$ define una norma sobre${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$⁠ . De hecho, ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$es un espacio métrico completo con respecto a esta norma y, por lo tanto, es un espacio de Banach .

Si​${\displaystyle p=2}$entonces​​${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$También es un espacio de Hilbert cuando se le dota de su producto interno canónico , llamadoProducto interno euclidiano , definido para todos${\displaystyle \textstyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$por​ $${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}\!}}\,y_{n}.}$$ La norma canónica inducida por este producto interno es la usual .${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$-norma , lo que significa que${\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$para todos${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}}$⁠ .

Si​${\displaystyle p=\infty }$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$⁠ se define como el espacio de todas las secuencias acotadas dotadas de la norma $${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$También es un espacio Banach.

Si​${\displaystyle 0<p<1}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$⁠ no lleva una norma, sino una métrica definida por $${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.}$$

Una sucesión convergente es cualquier sucesión${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$existe. El conjunto⁠${\displaystyle c}$El conjunto de todas las secuencias convergentes es un subespacio vectorialde${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$llamado elespacio de sucesiones convergentes . Dado que toda sucesión convergente es acotada,${\displaystyle c}$es un subespacio lineal de${\displaystyle \ell ^{\infty }}$⁠ . Además, este espacio de secuencias es un subespacio cerrado de ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$⁠ con respecto a la norma suprema , y ​​por lo tanto es un espacio de Banach con respecto a esta norma.

Una secuencia que converge a${\displaystyle 0}$Se denomina secuencia nula y se dice quedesaparecer . El conjunto de todas las secuencias que convergen a ⁠${\displaystyle 0}$es un subespacio vectorial cerrado de${\displaystyle c}$que cuando se le dota de la norma suprema se convierte en un espacio de Banach que se denota por⁠${\displaystyle c_{0}}$y se llama elespacio de secuencias nulas o elespacio de secuencias evanescentes .

Elespacio de secuencias eventualmente cero ,⁠${\displaystyle c_{00}}$⁠ , es el subespacio de⁠${\displaystyle c_{0}}$⁠ consta de todas las secuencias que tienen solo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado y, por lo tanto, no es un espacio de Banach con respecto a la norma infinito. Por ejemplo, la secuencia${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }}$dónde${\displaystyle x_{nk}=1/k}$por primera vez${\displaystyle n}$entradas (para${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$) y es cero en todas partes (es decir,${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }={}\!}$${\displaystyle {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}},\ldots ,{}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}},{\tfrac {1}{n}},{}}$${\displaystyle 0,0,\ldots {\bigr )}}$) es una sucesión de Cauchy pero no converge a una sucesión en${\displaystyle c_{00}.}$

Dejar $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$$

denotamos el espacio de secuencias finitas sobre ⁠${\displaystyle \mathbb {K} }$⁠ . Como espacio vectorial,${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$es igual a${\displaystyle c_{00}}$⁠ , pero ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$Tiene una topología diferente.

Para cada número natural${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$⁠ , dejar ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$Denotemos por el espacio euclidiano usualdotado de la topología euclidiana y sea${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$denota la inclusión canónica $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right).}$$ La imagen de cada inclusión es $${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ y, en consecuencia, $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$$

Esta familia de inclusiones da ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$una topología final​${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$⁠ , definida como la topología más fina en ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$de tal manera que todas las inclusiones sean continuas (un ejemplo de topología coherente ). Con esta topología ,${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$⁠ se convierte en un espacio vectorial topológico completo , de Hausdorff , localmente convexo , secuencial ,que no es de Fréchet-Urysohn . La topología ⁠${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$⁠ también es estrictamente más fino que la topología de subespacio inducida en ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$por​​${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ .

Convergencia en${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$tiene una descripción natural: si${\displaystyle \textstyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$y​${\displaystyle v_{\bullet }}$⁠ es una secuencia en ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$entonces​​${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$en​​${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$⁠ si y solo ⁠${\displaystyle v_{\bullet }}$Finalmente , está contenido en una sola imagen.${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$y​${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$bajo la topología natural de esa imagen.

A menudo, cada imagen${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$se identifica con el correspondiente ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$; explícitamente, los elementos${\displaystyle \textstyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$y${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$se identifican. Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología del subespacio en${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$, la topología cociente del mapa${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$y la topología euclidiana en${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$⁠ todos coinciden. Con esta identificación,${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$es el límite directo del sistema dirigido${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$donde cada inclusión agrega ceros finales: $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right).}$$ Esto muestra${\displaystyle \textstyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$es un espacio LB.

El espacio de series acotadas , denotado por bs , es el espacio de sucesiones${\displaystyle x}$para cuál $${\displaystyle \sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert }<\infty .}$$

Este espacio, cuando está equipado con la norma $${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert },}$$

es un espacio de Banach isométricamente isomorfo a${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty },}$mediante el mapeo lineal$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr )}_{n\in \mathbb {N} }.}$$

El subespacio${\displaystyle cs}$El conjunto formado por todas las series convergentes es un subespacio que se extiende al espacio ⁠${\displaystyle c}$⁠ bajo este isomorfismo.

El espacio${\displaystyle \Phi }$o​${\displaystyle c_{00}}$se define como el espacio de todas las secuencias infinitas con un número finito de términos distintos de cero (secuencias con soporte finito ). Este conjunto es denso en muchos espacios de secuencias.

Para​${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$, los espacios${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$están aumentando en${\displaystyle p}$⁠ , siendo el operador de inclusión continuo: para ⁠${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$⁠ , uno tiene${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$. De hecho, la desigualdad es homogénea en el ⁠${\displaystyle x_{i}}$⁠ , por lo que basta con probarlo bajo el supuesto de que${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$En este caso , solo necesitamos demostrar que${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$para​${\displaystyle q>p}$⁠ . Pero si${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$, entonces${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$para todos${\displaystyle i}$y luego${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq {}\!}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$.

Dejemos​${\displaystyle H}$Sea un espacio de Hilbert separable . Todo conjunto ortogonal en${\displaystyle H}$⁠ es como máximo numerable (es decir, tiene dimensión finita o ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ ). ^{[ 2 ]} Los dos elementos siguientes están relacionados:

• Si​${\displaystyle H}$Si es de dimensión infinita, entonces es isomorfo a${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$⁠ ,
• Si​${\displaystyle \operatorname {dim} (H)=N}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle H}$es isomorfo a${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{N}}$⁠ .