Regla escasa

Una regla incompleta es una regla en la que pueden faltar algunas de las marcas de distancia. De forma más abstracta, una regla incompleta de longitud${\displaystyle L}$con${\displaystyle m}$marcas es una secuencia de números enteros${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{m}}$dónde${\displaystyle 0=a_{1}<a_{2}<...<a_{m}=L}$Las marcas${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle a_{m}}$corresponder a los extremos de la regla. Para medir la distancia${\displaystyle K}$, con${\displaystyle 0\leq K\leq L}$debe haber marcas${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle a_{j}}$de tal manera que${\displaystyle a_{j}-a_{i}=K}$.

Una regla dispersa completa permite medir cualquier distancia entera hasta su longitud total. Una regla dispersa completa se denomina mínima si no existe una regla dispersa completa de longitud${\displaystyle L}$con${\displaystyle m-1}$marcas. En otras palabras, si se quita alguna de las marcas, ya no se pueden medir todas las distancias, incluso si las marcas se pudieran reorganizar. Una regla dispersa completa se llama máxima si no hay una regla dispersa completa de mayor longitud con${\displaystyle m}$marcas. Las reglas mínimas completas de longitud 135 y 136 requieren una marca más que las de longitudes 124-134, 137 y 138. Una regla dispersa se denomina óptima si es a la vez mínima y máxima.

Dado que el número de pares de marcas distintos es${\displaystyle m(m-1)/2}$, este es un límite superior de la longitud${\displaystyle L}$de cualquier regla dispersa máxima con${\displaystyle m}$marcas. Este límite superior solo se puede alcanzar para 2, 3 o 4 marcas. Para un mayor número de marcas, la diferencia entre la longitud óptima y el límite aumenta de forma gradual y desigual.

Por ejemplo, para 6 marcas, el límite superior es 15, pero la longitud máxima es 13. Existen 3 configuraciones diferentes de reglas dispersas de longitud 13 con 6 marcas. Una de ellas es {0, 1, 2, 6, 10, 13}. Para medir una longitud de 7, por ejemplo, con esta regla, se tomaría la distancia entre las marcas 6 y 13.

Un gobernante Golomb es un gobernante escaso que requiere todas las diferencias${\displaystyle a_{j}-a_{i}}$ser distinto. En general, un gobernante Golomb con${\displaystyle m}$Las marcas serán considerablemente más largas que una regla espaciada óptima con${\displaystyle m}$marcas, ya que${\displaystyle m(m-1)/2}$es un límite inferior para la longitud de una regla de Golomb. Una regla de Golomb larga tendrá huecos, es decir, distancias que no podrá medir. Por ejemplo, la regla de Golomb óptima {0, 1, 4, 10, 12, 17} tiene una longitud de 17, pero no puede medir longitudes de 14 o 15.

Wichmann descubrió una secuencia de reglas dispersas completas. ^{[ 1 ]} Las reglas de Wichmann tienen la forma${\displaystyle W(r,s)=1^{r},r+1,(2r+1)^{r},(4r+3)^{s},(2r+2)^{(r+1)},1^{r},}$dónde${\displaystyle a^{b}}$representa${\displaystyle b}$segmentos de longitud${\displaystyle a}$. Por lo tanto, si${\displaystyle r=1}$y${\displaystyle s=2}$, entonces${\displaystyle W(1,2)}$tiene (en orden): 1 segmento de longitud 1, 1 segmento de longitud 2, 1 segmento de longitud 3, 2 segmentos de longitud 7, 2 segmentos de longitud 4, 1 segmento de longitud 1.

Una variante menor es${\displaystyle w(r,s)=1^{r},r+1,(2r+1)^{(r+1)},(4r+3)^{s},(2r+2)^{r},1^{r},}$, con una longitud una unidad menor que${\displaystyle W(r,s)}$.

${\displaystyle W(1,2)}$le da a la regla {0, 1, 3, 6, 13, 20, 24, 28, 29}, mientras${\displaystyle w(1,2)}$da {0, 1, 3, 6, 9, 16, 23, 27, 28}. La longitud de una regla de Wichmann es${\displaystyle 4r(r+s+2)+3(s+1)}$y el número de puntos es${\displaystyle 4r+s+3}$Muchas (pero no todas) las reglas de Wichmann son óptimas, y Wichmann especuló que todas las reglas óptimas suficientemente grandes son de este tipo. Ninguna de las reglas óptimas de longitud 1, 13, 17, 23 y 58 sigue este patrón, pero no se conocen otras reglas óptimas que no sean de Wichmann y no se sabe que existan otras hasta una longitud de 213. ^{[ 2 ]}

Por cada${\displaystyle n}$dejar${\displaystyle l(n)}$sea ​​el número más pequeño de marcas para una regla de longitud${\displaystyle n}$. Por ejemplo,${\displaystyle l(6)=4}$. La asintótica de la función${\displaystyle l(n)}$Fue estudiado por Erdos, Gal ^{[ 3 ]} (1948) y continuado por Leech ^{[ 4 ]} (1956) y Wichmann ^{[ 1 ]} (1963), quienes demostraron que el límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{l(n)^{2}}/n}$existe y está limitado inferior y superiormente por ${\displaystyle \max _{0<\theta <2\pi }2(1-{\tfrac {\sin(\theta )}{\theta }})=2.434...\leq \lim _{n\to \infty }{\frac {l(n)^{2}}{n}}=\inf _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(l(n)+2)^{2}}{n+1}}\leq 3.}$

Existen mejores límites superiores para${\displaystyle n}$-reglas perfectas. Esos son subconjuntos.${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbb {N} }$de tal manera que cada número positivo${\displaystyle k\leq n}$se puede escribir como una diferencia${\displaystyle k=ab}$para algunos${\displaystyle a,b\in A}$. Para cada número${\displaystyle n}$dejar${\displaystyle k(n)}$sea ​​la cardinalidad más pequeña de un${\displaystyle n}$-gobernante perfecto. Está claro que${\displaystyle k(n)\leq l(n)}$. La asintótica de la secuencia${\displaystyle k(n)}$Fue estudiado por Redei, Renyi ^{[ 5 ]} (1949) y luego por Leech (1956) y Golay ^{[ 6 ]} (1972). Gracias a sus esfuerzos se obtuvo la siguiente cota superior más estricta: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)^{2}}{n}}=\inf _{n\in \mathbb {N} }{\frac {k(n)^{2}}{n}}\leq {\frac {128^{2}}{6166}}=2.6571...<{\frac {8}{3}}.}$

A continuación se muestran ejemplos de reglas mínimas y dispersas. Las reglas óptimas están resaltadas. Cuando hay demasiadas para enumerarlas, no se incluyen todas. No se muestran las imágenes especulares.

Unas pocas reglas incompletas pueden medir con precisión una distancia mayor que una regla óptima con pocas marcas y el mismo número de ellas.${\displaystyle \{0,2,7,14,15,18,24\}}$,${\displaystyle \{0,2,7,13,16,17,25\}}$,${\displaystyle \{0,5,7,13,16,17,31\}}$, y${\displaystyle \{0,6,10,15,17,18,31\}}$Cada regla puede medir hasta 18 unidades, mientras que una regla óptima con 7 marcas solo puede medir hasta 17. La tabla a continuación enumera estas reglas, hasta las que tienen 13 marcas. No se muestran las imágenes especulares. Se destacan las reglas que pueden medir una distancia mayor que cualquier regla más corta con el mismo número de marcas.

• Bloque de calibre
• gobernante Golomb
• regla perfecta

• http://www.luschny.de/math/rulers/prulers.html
• http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/PerfectRulers
• http://www.iwriteiam.nl/Ha_sparse_rulers.html
• http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_15_04.html
• http://www.contestcen.com/scale.htm
• http://members.cox.net/wnmyers/sparse_rulers.txt