Simetría traslacional

En física y matemáticas , la simetría traslacional continua es la invariancia de un sistema de ecuaciones bajo cualquier traslación (sin rotación ). La simetría traslacional discreta es la invariancia bajo traslación discreta .

De forma análoga, se dice que un operador A sobre funciones es invariante traslacionalmente con respecto a un operador de traslación.${\displaystyle T_{\delta }}$Si el resultado después de aplicar A no cambia si la función argumento se traduce. Más precisamente, debe cumplirse que $${\displaystyle \forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).}$$

Las leyes de la física son invariantes traslacionalmente bajo una traslación espacial si no distinguen diferentes puntos en el espacio. Según el teorema de Noether , la simetría traslacional espacial de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento .

La simetría traslacional de un objeto significa que una traslación particular no altera el objeto. Para un objeto dado, las traslaciones a las que se aplica esta propiedad forman un grupo, el grupo de simetría del objeto, o, si el objeto posee varios tipos de simetría, un subgrupo del grupo de simetría.

La invariancia traslacional implica que, al menos en una dirección, el objeto es infinito: para cualquier punto p dado , el conjunto de puntos con las mismas propiedades debido a la simetría traslacional forma el conjunto discreto infinito { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . Los dominios fundamentales son, por ejemplo, H + [0, 1] a para cualquier hiperplano H para el cual a tiene una dirección independiente. Esto es en 1D un segmento de línea , en 2D una tira infinita y en 3D una lámina, de modo que el vector que comienza en un lado termina en el otro. Nótese que la tira y la lámina no tienen por qué ser perpendiculares al vector, por lo que pueden ser más estrechas o más delgadas que la longitud del vector.

En espacios con dimensión mayor que 1, pueden existir múltiples simetrías traslacionales. Para cada conjunto de k vectores de traslación independientes, el grupo de simetría es isomorfo a Z ^k . En particular, la multiplicidad puede ser igual a la dimensión. Esto implica que el objeto es infinito en todas las direcciones. En este caso, el conjunto de todas las traslaciones forma una red . Diferentes bases de vectores de traslación generan la misma red si y solo si una se transforma en la otra mediante una matriz de coeficientes enteros cuyo determinante absoluto es 1. El determinante absoluto de la matriz formada por un conjunto de vectores de traslación es el hipervolumen del paralelepípedo n- dimensional que subtiende el conjunto (también llamado covolumen de la red). Este paralelepípedo es una región fundamental de la simetría: cualquier patrón sobre o dentro de él es posible, y esto define el objeto completo. Véase también red (grupo) .

Por ejemplo, en 2D, en lugar de a y b también podemos tomar a y a − b , etc. En general, en 2D, podemos tomar p a + q b y r a + s b para enteros p , q , r y s tales que ps − qr sea 1 o −1. Esto asegura que a y b sean combinaciones lineales enteras de los otros dos vectores. De lo contrario, no todas las traslaciones son posibles con el otro par. Cada par a , b define un paralelogramo, todos con la misma área, la magnitud del producto vectorial . Un paralelogramo define completamente todo el objeto. Sin simetría adicional, este paralelogramo es un dominio fundamental. Los vectores a y b pueden representarse mediante números complejos. Para dos puntos de la red dados, la equivalencia de las elecciones de un tercer punto para generar una forma de red está representada por el grupo modular , véase red (grupo) .

Alternativamente, por ejemplo, un rectángulo puede definir el objeto completo, incluso si los vectores de traslación no son perpendiculares, si tiene dos lados paralelos a un vector de traslación, mientras que el otro vector de traslación que comienza en un lado del rectángulo termina en el lado opuesto.

Por ejemplo, consideremos un recubrimiento con teselas rectangulares iguales con un patrón asimétrico, todas orientadas de la misma manera, en filas, con un desplazamiento de una fracción, no de la mitad, de una tesela en cada fila, siempre igual, entonces tenemos solo simetría traslacional, grupo de papel tapiz p 1 (lo mismo se aplica sin desplazamiento). Con simetría rotacional de orden dos del patrón en la tesela tenemos p 2 (una mayor simetría del patrón en la tesela no cambia esto, debido a la disposición de las teselas). El rectángulo es una unidad más conveniente para considerar como dominio fundamental (o conjunto de dos de ellos) que un paralelogramo que consiste en parte de una tesela y parte de otra.

En 2D, puede existir simetría traslacional en una dirección para vectores de cualquier longitud. Una línea, aunque no tenga la misma dirección, define completamente el objeto. De manera similar, en 3D, puede existir simetría traslacional en una o dos direcciones para vectores de cualquier longitud. Un plano ( sección transversal ) o una línea, respectivamente, define completamente el objeto.

• Todos los diseños de frisos presentan simetrías traslacionales, y a veces otros tipos de simetría.
• La transformada de Fourier, con el cálculo subsiguiente de valores absolutos, es un operador invariante a la traslación.
• La correspondencia entre una función polinómica y su grado es un funcional invariante bajo traslación.
• La medida de Lebesgue es una medida completamente invariante a la traslación .

• Reflexión de deslizamiento
• Desplazamiento
• Función periódica
• Red (grupo)
• Operador de traslación (mecánica cuántica)
• Simetría rotacional
• Simetría de Lorentz
• Mosaico
• Lista de ciclos §  Matemáticas de ondas y ciclos

• Stenger, Victor J. (2000) y MahouShiroUSA (2007). Realidad atemporal . Prometheus Books. Especialmente el cap. 12. No técnico.