Teorema de Specht

En matemáticas, el teorema de Specht proporciona una condición necesaria y suficiente para que dos matrices complejas sean unitariamente equivalentes . Recibe su nombre de Wilhelm Specht , quien demostró el teorema en 1940. ^{[ 1 ]}

Se dice que dos matrices A y B con entradas de números complejos son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria U tal que B = U * AU . ^{[ 2 ]} Dos matrices que son unitariamente equivalentes también son similares . Dos matrices similares representan la misma aplicación lineal , pero con respecto a una base diferente ; la equivalencia unitaria corresponde a un cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal.

Si A y B son unitariamente equivalentes, entonces tr AA * = tr BB *, donde tr denota la traza (en otras palabras, la norma de Frobenius es un invariante unitario). Esto se deduce de la invariancia cíclica de la traza: si B = U * AU , entonces tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA *, donde la segunda igualdad es la invariancia cíclica. ^{[ 3 ]}

Por lo tanto, tr AA * = tr BB * es una condición necesaria para la equivalencia unitaria, pero no es suficiente. El teorema de Specht proporciona infinitas condiciones necesarias que, en conjunto, también son suficientes. La formulación del teorema utiliza la siguiente definición. Una palabra en dos variables, digamos x e y , es una expresión de la forma

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

donde m ₁ , n ₁ , m ₂ , n ₂ , …, m _p son enteros no negativos. El grado de esta palabra es

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Teorema de Specht: Dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si y solo si tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras W . ^{[ 4 ]}

El teorema proporciona un número infinito de identidades de traza, pero puede reducirse a un subconjunto finito. Sea n el tamaño de las matrices A y B. Para el caso n = 2, las siguientes tres condiciones son suficientes: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*}.}$

Para n = 3, las siguientes siete condiciones son suficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{3}=\operatorname {tr} \,B^{3},\\&\operatorname {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$ ^{[ 6 ]}

Para un n general , basta con demostrar que tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras de grado como máximo

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2.}$ ^{[ 7 ]}

Se ha conjeturado que esto se puede reducir a una expresión lineal en n . ^{[ 8 ]}

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