Resistividad y conductividad eléctrica

En un caso ideal, la sección transversal y la composición física del material examinado son uniformes en toda la muestra, y el campo eléctrico y la densidad de corriente son paralelos y constantes en todas partes. De hecho, muchos resistores y conductores tienen una sección transversal uniforme con un flujo de corriente eléctrica uniforme, y están hechos de un solo material, por lo que este es un buen modelo. (Véase el diagrama adjunto). Cuando esto ocurre, la resistencia del conductor es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área de sección transversal, donde la resistividad eléctrica ρ  (en griego: rho ) es la constante de proporcionalidad. Esto se escribe como:

$${\displaystyle R\propto {\frac {\ell}{A}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\rho {\frac {\ell }{A}}\\[3pt]{}\Leftrightarrow \rho &=R{\frac {A}{\ell }},\end{aligned}}}$$

dónde

La resistividad se puede expresar utilizando la unidad del SI ohmio metro (Ω⋅m), es decir, ohmios multiplicados por metros cuadrados (para el área de la sección transversal) y luego divididos por metros (para la longitud). 

Tanto la resistencia como la resistividad describen la dificultad para que la corriente eléctrica fluya a través de un material, pero a diferencia de la resistencia, la resistividad es una propiedad intrínseca y no depende de las propiedades geométricas del material. Esto significa que todos los cables de cobre puro (Cu) (que no han sufrido distorsión de su estructura cristalina, etc.), independientemente de su forma y tamaño, tienen la misma resistividad , pero un cable de cobre largo y delgado tiene una resistencia mucho mayor que un cable de cobre grueso y corto. Cada material tiene su propia resistividad característica. Por ejemplo, el caucho tiene una resistividad mucho mayor que el cobre.

En una analogía hidráulica , hacer pasar corriente a través de un material de alta resistividad es como empujar agua a través de una tubería llena de arena  , mientras que hacer pasar corriente a través de un material de baja resistividad es como empujar agua a través de una tubería vacía. Si las tuberías tienen el mismo tamaño y forma, la tubería llena de arena ofrece mayor resistencia al flujo. Sin embargo, la resistencia no depende únicamente de la presencia o ausencia de arena. También depende de la longitud y el ancho de la tubería: las tuberías cortas o anchas ofrecen menor resistencia que las estrechas o largas.

La ecuación anterior se puede transponer para obtener la ley de Pouillet (llamada así en honor a Claude Pouillet ):

$${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}.}$$La resistencia de un elemento dado es proporcional a la longitud, pero inversamente proporcional al área de la sección transversal. Por ejemplo, si A  =1  m ² ,${\displaystyle \ell }$ =1  m (formando un cubo con contactos perfectamente conductores en caras opuestas), entonces la resistencia de este elemento en ohmios es numéricamente igual a la resistividad del material del que está hecho en Ω⋅m.

La conductividad, σ , es la inversa de la resistividad:

$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}.}$$

La conductividad se expresa en unidades del Sistema Internacional (SI), como siemens por metro (S/m).

Conductividad,${\displaystyle \sigma }$es directamente proporcional a${\displaystyle n\mu _ {n}+p\mu _ {p}}$

$${\displaystyle \sigma =q(n\mu _ {n}+p\mu _ {p})}$$

Dónde:${\displaystyle q}$= carga del electrón,${\displaystyle n}$= concentración de electrones,${\displaystyle p}$= concentración de agujeros,${\displaystyle \mu _{n}}$= movilidad de los electrones,${\displaystyle \mu _{p}}$= movilidad del agujero.

Si la geometría es más compleja, o si la resistividad varía de un punto a otro dentro del material, la corriente y el campo eléctrico serán funciones de la posición. En ese caso, es necesario utilizar una expresión más general en la que la resistividad en un punto determinado se define como la relación entre el campo eléctrico y la densidad de la corriente que genera en ese punto:

$${\displaystyle \rho (x)={\frac {E(x)}{J(x)}},}$$

dónde

La densidad de corriente es necesariamente paralela al campo eléctrico.

La conductividad es la inversa (recíproca) de la resistividad. Aquí, viene dada por:

$${\displaystyle \sigma (x)={\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {J(x)}{E(x)}}.}$$

Por ejemplo, el caucho es un material con una resistividad (ρ) grande y una resistividad (σ ) pequeña, ya que incluso un campo eléctrico muy intenso en el caucho prácticamente no produce corriente. Por otro lado, el cobre es un material con una resistividad (ρ)  pequeña y una resistividad (σ) grande , ya que incluso un campo eléctrico pequeño genera una gran corriente. 

Esta expresión se simplifica a la fórmula dada anteriormente en el caso ideal, cuando la resistividad es constante en el material y la geometría tiene una sección transversal uniforme. En este caso, el campo eléctrico y la densidad de corriente son constantes y paralelos.

Cuando la resistividad de un material tiene un componente direccional, debe utilizarse la definición más general de resistividad. Esta parte de la forma tensorial-vectorial de la ley de Ohm , que relaciona el campo eléctrico dentro de un material con el flujo de corriente eléctrica. Esta ecuación es completamente general, lo que significa que es válida en todos los casos, incluidos los mencionados anteriormente. Sin embargo, esta definición es la más compleja, por lo que solo se utiliza directamente en casos anisotrópicos , donde no se pueden aplicar las definiciones más sencillas. Si el material es isotrópico, se puede ignorar la definición tensorial-vectorial y utilizar una expresión más simple.

Aquí, anisotrópico significa que el material tiene propiedades diferentes en distintas direcciones. Por ejemplo, un cristal de grafito consiste microscópicamente en una pila de láminas, y la corriente fluye muy fácilmente a través de cada lámina, pero mucho menos fácilmente de una lámina a la adyacente. ^{[ 4 ]} En tales casos, la corriente no fluye exactamente en la misma dirección que el campo eléctrico. Por lo tanto, las ecuaciones apropiadas se generalizan a la forma tensorial tridimensional: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} \,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} ={\boldsymbol {\rho }}\mathbf {J} ,}$$

donde la conductividad σ y la resistividad ρ son tensores de rango 2 , y el campo eléctrico E y la densidad de corriente J son vectores. Estos tensores se pueden representar mediante matrices de 3×3, y los vectores mediante matrices de 3×1, utilizando la multiplicación de matrices en el lado derecho de estas ecuaciones. En forma matricial, la relación de resistividad viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{xx}&\rho _{xy}&\rho _{xz}\\\rho _{yx}&\rho _{yy}&\rho _{yz}\\\rho _{zx}&\rho _{zy}&\rho _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}},}$$

dónde

De forma equivalente, la resistividad se puede expresar en la notación de Einstein, más compacta :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}={\boldsymbol {\rho }}_{ij}\mathbf {J} _{j}~.}$$

En ambos casos, la expresión resultante para cada componente del campo eléctrico es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=\rho _{xx}J_{x}+\rho _{xy}J_{y}+\rho _{xz}J_{z},\\E_{y}&=\rho _{yx}J_{x}+\rho _{yy}J_{y}+\rho _{yz}J_{z},\\E_{z}&=\rho _{zx}J_{x}+\rho _{zy}J_{y}+\rho _{zz}J_{z}.\end{aligned}}}$$

Dado que la elección del sistema de coordenadas es libre, la convención habitual es simplificar la expresión eligiendo un eje x paralelo a la dirección actual, de modo que J _y = J _z = 0. Esto deja:

$${\displaystyle \rho _{xx}={\frac {E_{x}}{J_{x}}},\quad \rho _{yx}={\frac {E_{y}}{J_{x}}},{\text{ y }}\rho _{zx}={\frac {E_{z}}{J_{x}}}.}$$

La conductividad se define de manera similar: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}}$$

o

$${\displaystyle \mathbf {J} _{i}={\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\mathbf {E} _{j},}$$

ambos resultados:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&=\sigma _{xx}E_{x}+\sigma _{xy}E_{y}+\sigma _{xz}E_{z}\\J_{y}&=\sigma _{yx}E_{x}+\sigma _{yy}E_{y}+\sigma _{yz}E_{z}\\J_{z}&=\sigma _{zx}E_{x}+\sigma _{zy}E_{y}+\sigma _{zz}E_{z}\end{aligned}}.}$$

Al observar las dos expresiones,${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$son matrices inversas entre sí. Sin embargo, en el caso más general, los elementos individuales de la matriz no son necesariamente recíprocos entre sí; por ejemplo, σ _xx puede no ser igual a 1/ ρ _xx . Esto se puede observar en el efecto Hall , donde${\displaystyle \rho _{xy}}$es distinto de cero. En el efecto Hall, debido a la invariancia rotacional alrededor del eje z ,${\displaystyle \rho _{yy}=\rho _{xx}}$y${\displaystyle \rho _{yx}=-\rho _{xy}}$, por lo que la relación entre resistividad y conductividad se simplifica a: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\rho _{xx}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}},\quad \sigma _{xy}={\frac {-\rho _{xy}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}}.}$$

Si el campo eléctrico es paralelo a la corriente aplicada,${\displaystyle \rho _{xy}}$y${\displaystyle \rho _{xz}}$son cero. Cuando son cero, un número,${\displaystyle \rho _{xx}}$, es suficiente para describir la resistividad eléctrica. Luego se escribe simplemente${\displaystyle \rho }$y esto se reduce a la expresión más simple.

Según la mecánica cuántica elemental , un electrón en un átomo o cristal solo puede tener ciertos niveles de energía precisos; las energías entre estos niveles son imposibles. Cuando un gran número de estos niveles permitidos tienen valores de energía muy próximos entre sí —es decir, energías que difieren mínimamente—, la combinación de estos niveles de energía cercanos se denomina «banda de energía». Puede haber muchas de estas bandas de energía en un material, dependiendo del número atómico de los átomos que lo componen ^{[ a ]} y de su distribución dentro del cristal. ^{[ b ]}

Los electrones del material buscan minimizar la energía total del mismo al ubicarse en estados de baja energía; sin embargo, el principio de exclusión de Pauli implica que solo uno puede existir en cada uno de estos estados. Por lo tanto, los electrones "llenan" la estructura de bandas comenzando desde abajo. El nivel de energía característico hasta el cual los electrones han llenado la estructura se denomina nivel de Fermi . La posición del nivel de Fermi con respecto a la estructura de bandas es crucial para la conducción eléctrica: solo los electrones en niveles de energía cercanos o superiores al nivel de Fermi pueden moverse libremente dentro de la estructura del material, ya que pueden saltar fácilmente entre los estados parcialmente ocupados en esa región. En contraste, los estados de baja energía están completamente llenos, con un límite fijo en el número de electrones en todo momento, y los estados de alta energía están siempre vacíos de electrones.

La corriente eléctrica consiste en un flujo de electrones. En los metales, existen muchos niveles de energía electrónica cerca del nivel de Fermi, por lo que hay muchos electrones disponibles para moverse. Esto es lo que provoca la alta conductividad electrónica de los metales.

Una parte importante de la teoría de bandas es la existencia de bandas prohibidas de energía: intervalos de energía que no contienen niveles de energía. En aislantes y semiconductores, el número de electrones es justo el necesario para llenar un número entero determinado de bandas de baja energía, exactamente hasta el límite. En este caso, el nivel de Fermi se encuentra dentro de una banda prohibida. Dado que no hay estados disponibles cerca del nivel de Fermi y los electrones no se mueven libremente, la conductividad electrónica es muy baja.

Un metal consiste en una red de átomos , cada uno con una capa externa de electrones que se disocian libremente de sus átomos de origen y viajan a través de la red. Esto también se conoce como red iónica positiva. ^{[ 9 ]} Este "mar" de electrones disociables permite que el metal conduzca corriente eléctrica. Cuando se aplica una diferencia de potencial eléctrico (un voltaje ) a través del metal, el campo eléctrico resultante hace que los electrones se desplacen hacia el terminal positivo. La velocidad de deriva real de los electrones suele ser pequeña, del orden de magnitud de metros por hora. Sin embargo, debido a la gran cantidad de electrones en movimiento, incluso una velocidad de deriva lenta resulta en una alta densidad de corriente . ^{[ 10 ]} El mecanismo es similar a la transferencia de momento de bolas en un péndulo de Newton ^{[ 11 ]} pero la rápida propagación de una energía eléctrica a lo largo de un cable no se debe a las fuerzas mecánicas, sino a la propagación de un campo electromagnético portador de energía guiado por el cable.

Los metales tienen una resistencia eléctrica distinta de cero, pero es significativamente menor que la de los semiconductores y aislantes. En modelos más simples (modelos no cuánticos), esto se puede explicar reemplazando los electrones y la red cristalina por una estructura ondulatoria. Cuando la onda electrónica viaja a través de la red, las ondas interfieren , lo que causa resistencia. Cuanto más regular sea la red, menor será la perturbación y, por lo tanto, menor la resistencia. La cantidad de resistencia se debe principalmente a dos factores. Primero, a la temperatura y, por lo tanto, a la cantidad de vibración de la red cristalina. Las temperaturas más altas causan vibraciones mayores, que actúan como irregularidades en la red. Segundo, la pureza del metal es relevante, ya que una mezcla de diferentes iones también es una irregularidad. ^{[ 12 ] [ 13 ]} La pequeña disminución de la conductividad al fundirse los metales puros se debe a la pérdida del orden cristalino de largo alcance. El orden de corto alcance permanece y la fuerte correlación entre las posiciones de los iones da como resultado coherencia entre las ondas difractadas por iones adyacentes. ^{[ 14 ]}

En los metales, el nivel de Fermi se encuentra en la banda de conducción (véase la Teoría de Bandas, más arriba), lo que da lugar a electrones de conducción libres. Sin embargo, en los semiconductores , la posición del nivel de Fermi se sitúa dentro de la banda prohibida, aproximadamente a medio camino entre el mínimo de la banda de conducción (el fondo de la primera banda de niveles de energía de electrones no ocupados) y el máximo de la banda de valencia (el borde de la banda inferior a la de conducción, de niveles de energía de electrones ocupados). Esto se aplica a los semiconductores intrínsecos (sin dopar). Esto significa que, a temperatura de cero absoluto, no habría electrones de conducción libres y la resistencia sería infinita. Sin embargo, la resistencia disminuye a medida que aumenta la densidad de portadores de carga (es decir, sin introducir más complicaciones, la densidad de electrones) en la banda de conducción. En los semiconductores extrínsecos (dopados), los átomos dopantes aumentan la concentración de portadores de carga mayoritarios al donar electrones a la banda de conducción o producir huecos en la banda de valencia. (Un "hueco" es una posición donde falta un electrón; estos huecos pueden comportarse de forma similar a los electrones). Tanto para átomos donantes como aceptores, el aumento de la densidad de dopantes reduce la resistencia. Por lo tanto, los semiconductores altamente dopados se comportan como metales. A temperaturas muy elevadas, la contribución de los portadores generados térmicamente predomina sobre la de los átomos dopantes, y la resistencia disminuye exponencialmente con la temperatura.

En los electrolitos , la conducción eléctrica no se produce por electrones o huecos de banda, sino por especies atómicas completas ( iones ) que se desplazan, cada una con su propia carga eléctrica. La resistividad de las soluciones iónicas (electrolitos) varía enormemente con la concentración: mientras que el agua destilada es casi un aislante, el agua salada es un conductor eléctrico razonable. La conducción en líquidos iónicos también está controlada por el movimiento de iones, pero aquí hablamos de sales fundidas, no de iones solvatados. En las membranas biológicas , las corrientes son transportadas por sales iónicas. Los pequeños orificios en las membranas celulares, llamados canales iónicos , son selectivos para iones específicos y determinan la resistencia de la membrana.

La concentración de iones en un líquido (por ejemplo, en una solución acuosa) depende del grado de disociación de la sustancia disuelta, caracterizado por un coeficiente de disociación.${\displaystyle \alpha }$, que es la relación de la concentración de iones${\displaystyle N}$a la concentración de moléculas de la sustancia disuelta${\displaystyle N_{0}}$:

$${\displaystyle N=\alpha N_{0}~.}$$

La conductividad eléctrica específica (${\displaystyle \sigma }$) de una solución es igual a:

$${\displaystyle \sigma =q\left(b^{+}+b^{-}\right)\alpha N_{0}~,}$$

dónde${\displaystyle q}$: módulo de la carga del ion,${\displaystyle b^{+}}$y${\displaystyle b^{-}}$: movilidad de iones con carga positiva y negativa,${\displaystyle N_{0}}$: concentración de moléculas de la sustancia disuelta,${\displaystyle \alpha }$: el coeficiente de disociación.

La resistividad eléctrica de un conductor metálico disminuye gradualmente a medida que baja la temperatura. En conductores normales (es decir, no superconductores), como el cobre o la plata , esta disminución está limitada por impurezas y otros defectos. Incluso cerca del cero absoluto , una muestra real de un conductor normal muestra cierta resistencia. En un superconductor, la resistencia cae abruptamente a cero cuando el material se enfría por debajo de su temperatura crítica. En un conductor normal, la corriente es impulsada por un gradiente de voltaje, mientras que en un superconductor, no hay gradiente de voltaje y la corriente está relacionada con el gradiente de fase del parámetro de orden superconductor. ^{[ 15 ]} Una consecuencia de esto es que una corriente eléctrica que fluye en un bucle de cable superconductor puede persistir indefinidamente sin una fuente de alimentación. ^{[ 16 ]}

En una clase de superconductores conocidos como superconductores de tipo II , que incluye todos los superconductores de alta temperatura conocidos , se observa una resistividad extremadamente baja, pero distinta de cero, a temperaturas no muy inferiores a la transición superconductora nominal cuando se aplica una corriente eléctrica junto con un campo magnético intenso, posiblemente causado por la propia corriente. Esto se debe al movimiento de vórtices magnéticos en el superfluido electrónico, que disipa parte de la energía transportada por la corriente. La resistencia debida a este efecto es ínfima en comparación con la de los materiales no superconductores, pero debe tenerse en cuenta en experimentos sensibles. Sin embargo, a medida que la temperatura desciende lo suficiente por debajo de la transición superconductora nominal, estos vórtices pueden congelarse, de modo que la resistencia del material se vuelve prácticamente cero.

Los plasmas son muy buenos conductores y los potenciales eléctricos desempeñan un papel importante.

El potencial, tal como existe en promedio en el espacio entre partículas cargadas, independientemente de cómo se pueda medir, se denomina potencial de plasma o potencial espacial . Si se inserta un electrodo en un plasma, su potencial generalmente se encuentra considerablemente por debajo del potencial de plasma, debido a lo que se denomina capa de Debye . La buena conductividad eléctrica de los plasmas hace que sus campos eléctricos sean muy pequeños. Esto da lugar al importante concepto de cuasineutralidad , que establece que la densidad de cargas negativas es aproximadamente igual a la densidad de cargas positivas en grandes volúmenes del plasma ( n _e = ⟨Z⟩  > n _i  ), pero en la escala de la longitud de Debye puede haber un desequilibrio de carga. En el caso especial de que se formen capas dobles , la separación de carga puede extenderse varias decenas de longitudes de Debye.

La magnitud de los potenciales y campos eléctricos debe determinarse por medios distintos a la simple determinación de la densidad de carga neta . Un ejemplo común es suponer que los electrones satisfacen la relación de Boltzmann : $${\displaystyle n_{\text{e}}\propto \exp \left(e\Phi /k_{\text{B}}T_{\text{e}}\right).}$$

Al diferenciar esta relación, se obtiene un medio para calcular el campo eléctrico a partir de la densidad: $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {k_{\text{B}}T_{\text{e}}}{e}}{\frac {\nabla n_{\text{e}}}{n_{\text{e}}}}.}$$

(∇ es el operador de gradiente vectorial; consulte el símbolo nabla y el gradiente para obtener más información).

Es posible producir un plasma que no sea cuasineutral. Un haz de electrones, por ejemplo, solo tiene cargas negativas. La densidad de un plasma no neutro generalmente debe ser muy baja o muy pequeña. De lo contrario, la fuerza electrostática repulsiva lo disipa.

En los plasmas astrofísicos , el apantallamiento de Debye impide que los campos eléctricos afecten directamente al plasma a grandes distancias, es decir, mayores que la longitud de Debye . Sin embargo, la existencia de partículas cargadas provoca que el plasma genere campos magnéticos y se vea afectado por ellos. Esto puede causar, y de hecho causa, un comportamiento extremadamente complejo, como la generación de capas dobles de plasma, un objeto que separa la carga a lo largo de varias decenas de longitudes de Debye. La dinámica de los plasmas que interactúan con campos magnéticos externos y autogenerados se estudia en la disciplina académica de la magnetohidrodinámica .

El plasma suele denominarse el cuarto estado de la materia después de los sólidos, líquidos y gases. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Es distinto de estos y otros estados de la materia de menor energía . Si bien está estrechamente relacionado con la fase gaseosa, ya que tampoco tiene forma ni volumen definidos, difiere en varios aspectos, entre ellos los siguientes:

Esta tabla muestra la resistividad ( ρ ), la conductividad y el coeficiente de temperatura de varios materiales a 20 °C (68 °F; 293 K) .   

El coeficiente de temperatura efectivo varía con la temperatura y el nivel de pureza del material. El  valor de 20 °C es solo una aproximación cuando se utiliza a otras temperaturas. Por ejemplo, el coeficiente se vuelve más bajo a temperaturas más altas para el cobre, y el valor 0,00427 se especifica comúnmente a0  °C . ^{[ 53 ]}

La resistividad extremadamente baja (alta conductividad) de la plata es característica de los metales. George Gamow resumió de forma concisa la naturaleza de la interacción de los metales con los electrones en su libro de divulgación científica Uno, dos, tres... infinito (1947):

Las sustancias metálicas se diferencian de los demás materiales en que las capas externas de sus átomos están unidas de forma relativamente débil, permitiendo a menudo que uno de sus electrones quede libre. De este modo, el interior de un metal se llena de una gran cantidad de electrones libres que se mueven sin rumbo fijo, como una multitud de personas sin conexión. Cuando un cable metálico se somete a una fuerza eléctrica aplicada en sus extremos opuestos, estos electrones libres se desplazan rápidamente en la dirección de la fuerza, formando así lo que denominamos corriente eléctrica.

En términos más técnicos, el modelo de electrones libres proporciona una descripción básica del flujo de electrones en los metales.

La madera es ampliamente considerada como un aislante extremadamente bueno, pero su resistividad depende sensiblemente del contenido de humedad, siendo la madera húmeda un factor de al menos10 ¹⁰ peor aislante que el secado al horno. ^{[ 46 ]} En cualquier caso, un voltaje suficientemente alto, como el de los rayos o algunas líneas eléctricas de alto voltaje, puede provocar la ruptura del aislamiento y el riesgo de electrocución incluso con madera aparentemente seca.

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, normalmente se utiliza una aproximación lineal :$${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})],}$$

dónde${\displaystyle \alpha }$se denomina coeficiente de temperatura de resistividad ,${\displaystyle T_{0}}$es una temperatura de referencia fija (generalmente la temperatura ambiente), y${\displaystyle \rho _{0}}$es la resistividad a temperatura${\displaystyle T_{0}}$. El parámetro${\displaystyle \alpha }$es un parámetro empírico ajustado a partir de datos de medición , igual a 1/${\displaystyle \kappa }$. Debido a que la aproximación lineal es solo una aproximación,${\displaystyle \alpha }$es diferente para diferentes temperaturas de referencia. Por esta razón es habitual especificar la temperatura que${\displaystyle \alpha }$se midió con un sufijo, como${\displaystyle \alpha _{15}}$y la relación solo se cumple en un rango de temperaturas alrededor de la referencia. ^{[ 54 ]} Cuando la temperatura varía en un amplio rango de temperaturas, la aproximación lineal es inadecuada y se debe utilizar un análisis y una comprensión más detallados.

En general, la resistividad eléctrica de los metales aumenta con la temperatura. Las interacciones electrón- fonón pueden desempeñar un papel fundamental. A altas temperaturas, la resistencia de un metal aumenta linealmente con la temperatura. A medida que disminuye la temperatura de un metal, la dependencia de la resistividad con la temperatura sigue una función potencial de la temperatura. Matemáticamente, la dependencia de la resistividad ρ de un metal con la temperatura se puede aproximar mediante la fórmula de Bloch-Grüneisen: ^{[ 55 ]}

$${\displaystyle \rho (T)=\rho (0)+A\left({\frac {T}{\Theta _{R}}}\right)^{n}\int _{0}^{\Theta _{R}/T}{\frac {x^{n}}{(e^{x}-1)(1-e^{-x})}}\,dx,}$$

dónde${\displaystyle \rho (0)}$es la resistividad residual debida a la dispersión de defectos, A es una constante que depende de la velocidad de los electrones en la superficie de Fermi , el radio de Debye y la densidad numérica de electrones en el metal.${\displaystyle \Theta _{R}}$es la temperatura de Debye obtenida a partir de mediciones de resistividad y coincide muy de cerca con los valores de temperatura de Debye obtenidos a partir de mediciones de calor específico. n es un número entero que depende de la naturaleza de la interacción:

• n  =  5 implica que la resistencia se debe a la dispersión de electrones por fonones (como ocurre en los metales simples).
• n  =  3 implica que la resistencia se debe a la dispersión de electrones sd (como es el caso de los metales de transición).
• n  =  2 implica que la resistencia se debe a la interacción electrón-electrón.

La fórmula de Bloch-Grüneisen es una aproximación obtenida suponiendo que el metal estudiado tiene una superficie de Fermi esférica inscrita dentro de la primera zona de Brillouin y un espectro de fonones de Debye . ^{[ 56 ]}

Si hay más de una fuente de dispersión presente simultáneamente, la regla de Matthiessen (formulada por primera vez por Augustus Matthiessen en la década de 1860) ^{[ 57 ] [ 58 ]} establece que la resistencia total se puede aproximar sumando varios términos diferentes, cada uno con el valor apropiado de n . 

Cuando la temperatura del metal se reduce lo suficiente (hasta el punto de "congelar" todos los fonones), la resistividad suele alcanzar un valor constante, conocido como resistividad residual . Este valor depende no solo del tipo de metal, sino también de su pureza y su historial térmico. El valor de la resistividad residual de un metal está determinado por su concentración de impurezas. Algunos materiales pierden toda su resistividad eléctrica a temperaturas suficientemente bajas, debido a un efecto conocido como superconductividad .

La investigación sobre la resistividad de los metales a bajas temperaturas fue la motivación de los experimentos de Heike Kamerlingh Onnes , que en 1911 condujeron al descubrimiento de la superconductividad . Para más detalles, véase Historia de la superconductividad .

En general, la resistividad intrínseca de los semiconductores disminuye al aumentar la temperatura. Los electrones son impulsados ​​a la banda de conducción por la energía térmica, donde fluyen libremente, dejando huecos en la banda de valencia , que también fluyen libremente. La resistencia eléctrica de un semiconductor intrínseco (no dopado) típico disminuye exponencialmente con la temperatura según un modelo de Arrhenius :

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{\frac {E_{A}}{k_{B}T}}.}$$

Una aproximación aún mejor de la dependencia de la resistividad de un semiconductor con la temperatura viene dada por la ecuación de Steinhart-Hart :

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln \rho +C(\ln \rho )^{3},}$$

donde A , B y C son los llamados coeficientes de Steinhart-Hart .

Esta ecuación se utiliza para calibrar termistores .

Los semiconductores extrínsecos (dopados) presentan un perfil de temperatura mucho más complejo. A medida que la temperatura aumenta desde el cero absoluto, su resistencia disminuye bruscamente al abandonar los portadores los donantes o aceptores. Una vez que la mayoría de los donantes o aceptores han perdido sus portadores, la resistencia comienza a aumentar ligeramente de nuevo debido a la disminución de la movilidad de los portadores (de forma similar a un metal). A temperaturas más elevadas, se comportan como semiconductores intrínsecos, ya que los portadores procedentes de los donantes/aceptores se vuelven insignificantes en comparación con los portadores generados térmicamente. ^{[ 59 ]}

En los semiconductores no cristalinos, la conducción puede ocurrir por efecto túnel cuántico de cargas de un sitio localizado a otro. Esto se conoce como salto de rango variable y tiene la forma característica de $${\displaystyle \rho =A\exp \left((T_{0}/T)^{1/n}\right),}$$

donde n = 2, 3, 4, dependiendo de la dimensionalidad del sistema, y${\displaystyle T_{0}}$es una escala de temperatura característica.

Los aislantes de Kondo son materiales cuya resistividad sigue la fórmula

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}+aT^{2}+bT^{5}+c_{m}\ln {\frac {\mu }{T}}}$

dónde${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c_{m}}$y${\displaystyle \mu }$son parámetros constantes,${\displaystyle \rho _{0}}$la resistividad residual,${\displaystyle T^{2}}$la contribución del líquido de Fermi ,${\displaystyle T^{5}}$un término de vibraciones de la red y${\displaystyle \ln {\frac {1}{T}}}$El efecto Kondo .

En una carta de 1774 dirigida al científico británico de origen holandés Jan Ingenhousz , Benjamin Franklin relata un experimento realizado por otro científico británico, John Walsh , que supuestamente demostraba este hecho asombroso: aunque el aire enrarecido conduce la electricidad mejor que el aire común, el vacío no conduce la electricidad en absoluto. ^{[ 63 ]}

El Sr. Walsh acaba de hacer un descubrimiento curioso sobre la electricidad. Como saben, en el aire enrarecido la electricidad se propaga con mayor facilidad y atraviesa mayores distancias que en el aire denso; por lo tanto, se concluyó que en el vacío absoluto la electricidad se propagaría a cualquier distancia sin la menor obstrucción. Sin embargo, tras crear un vacío absoluto mediante mercurio hervido en un tubo largo y curvado al estilo de Torricelli, con sus extremos sumergidos en recipientes llenos de mercurio, descubre que el vacío no conduce la electricidad en absoluto, sino que impide completamente el paso del fluido eléctrico.

Sin embargo, a esta declaración los editores —de la American Philosophical Society y la Universidad de Yale— de la página web que aloja la carta añadieron una nota (basada en el conocimiento moderno): ^{[ 63 ]}

Solo podemos suponer que algo fallaba en los hallazgos de Walsh. Si bien la conductividad de un gas, al acercarse al vacío, aumenta hasta cierto punto y luego disminuye, ese punto está mucho más allá de lo que cabría esperar de la técnica descrita. La ebullición sustituyó el aire por vapor de mercurio, que al enfriarse creó un vacío que difícilmente podría haber sido lo suficientemente completo como para disminuir, y mucho menos eliminar, la conductividad del vapor.

La ley de Barlow se publicó en 1825. La ley de Ohm se publicó en 1827. Ambas eran ajustes empíricos a datos medidos.

La primera explicación científica de por qué los electrones se comportan de esta manera es el modelo de Drude , propuesto por primera vez en 1900.