energía potencial específica

El potencial gravitatorio V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W que debe realizar un agente externo para traer una masa unitaria desde el infinito hasta ese punto: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \left(\mathbf {x} '\right)\cdot d\mathbf {x} '={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x'^{2}}}dx'=-{\frac {GM}{x}},}$$ donde G es la constante gravitacional y F es la fuerza gravitacional. El producto GM es el parámetro gravitacional estándar y suele conocerse con mayor precisión que G o M por separado. El potencial tiene unidades de energía por unidad de masa, por ejemplo, J/kg en el sistema MKS . Por convención, siempre es negativo donde se define y, a medida que x tiende a infinito, se aproxima a cero.

El campo gravitatorio , y por lo tanto la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitatorio. Por lo tanto, el negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Debido a que el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$ donde x es un vector de longitud x que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño y${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$es un vector unitario que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño. Por lo tanto, la magnitud de la aceleración sigue una ley del inverso del cuadrado : $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

El potencial asociado a una distribución de masas es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masas es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x ₁ , ..., x _n y tienen masas m ₁ , ..., m _n , entonces el potencial de la distribución en el punto x es $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}$$

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R³ , entonces el potencial es la convolución de −G / | r | con dm . En buenos casos, esto es igual a la ^integral .$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ donde | x − r | es la distancia entre los puntos x y r. Si existe una función ρ (r) que representa la densidad de la distribución en r, de modo que dm (r) = ρ (r) dv (r) , donde dv (r) es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitatorio es la integral de volumen.$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

Si V es una función potencial que proviene de una distribución de masa continua ρ (r), entonces ρ se puede recuperar utilizando el operador de Laplace , Δ : $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$ Esto se cumple puntualmente siempre que ρ sea continua y cero fuera de un conjunto acotado. En general, la medida de masa dm se puede recuperar de la misma manera si se toma el operador de Laplace en el sentido de las distribuciones . Como consecuencia, el potencial gravitatorio satisface la ecuación de Poisson . Véase también la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables y el potencial newtoniano .

La integral puede expresarse en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y las degeneradas. ^{[ 5 ]} Estas incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides oblados (véase elipsoide de referencia ) y prolados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la lámina ilimitada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral del potencial gravitatorio (aparte de la constante G , donde 𝜌 es una densidad de carga constante ) al electromagnetismo.