Conjetura de la brecha espectral

En la teoría ergódica , una rama de las matemáticas, la conjetura de la brecha espectral de Alexander Lubotzky , Ralph S. Phillips y Peter Sarnak es una afirmación sobre las brechas espectrales de ciertas acciones de un grupo libre en la esfera.${\displaystyle S^{2}}$. ^{[ 1 ]}

Cualquier matriz${\displaystyle U\in SU(2)}$define una isometría de la esfera${\displaystyle S^{2}}$, que a su vez define un operador${\displaystyle \phi _{U}}$en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(SU(2))}$La conjetura de la brecha espectral afirma que para cualquier entero${\displaystyle n>2}$, si${\displaystyle n}$isometrías${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$se eligen uniformemente al azar, luego el operador${\displaystyle \phi _ {U_ {1}}+\phi _ {U_ {1}}^{-1}+\cdots +\phi _ {U_ {n}}+\phi _ {U_ {n}}^{-1}}$tiene una brecha espectral no trivial con probabilidad 1. ^{[ 1 ]}

En 2007, Jean Bourgain y Alex Gamburd demostraron que cuando las matrices${\displaystyle U_{i}}$tienen entradas que son todos números algebraicos salvo conjugación simultánea, el operador resultante tiene una brecha espectral. ^{[ 2 ]} Este resultado se generalizó posteriormente al caso de${\displaystyle SU(d)}$[ ^{3 ]} Se sabe que o bien existe una brecha espectral no trivial con probabilidad 1, o bien la brecha espectral es trivial con probabilidad 1. ^{[ 4 ] De} ser cierto, el enunciado tendría aplicaciones en la computación cuántica y el diseño de conjuntos de puertas cuánticas universales. ^{[ 5 ] [ 6 ]}