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Articulo de referencia

Matriz modal

En álgebra lineal , la matriz modal se utiliza en el proceso de diagonalización que involucra valores propios y vectores propios . [ 1 ] Específicamente la matriz modal METRO {\...

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En álgebra lineal , la matriz modal se utiliza en el proceso de diagonalización que involucra valores propios y vectores propios . [ 1 ]

Específicamente la matriz modalMETRO{\displaystyle M}para la matrizA{\displaystyle A}es la matriz n × n formada con los vectores propios deA{\displaystyle A}como columnas enMETRO{\displaystyle M}Se utiliza en la transformación de similitud .

D=METRO−1AMETRO,{\displaystyle D=M^{-1}AM,}

dóndeD{\displaystyle D}es una matriz diagonal n × n con los valores propios deA{\displaystyle A}en la diagonal principal deD{\displaystyle D}y ceros en otros lugares. La matrizD{\displaystyle D}se denomina matriz espectral paraA{\displaystyle A}. Los valores propios deben aparecer de izquierda a derecha, de arriba a abajo, en el mismo orden en que sus vectores propios correspondientes están dispuestos de izquierda a derecha enMETRO{\displaystyle M}. [ 2 ]

Ejemplo

La matriz

A=(320200102){\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}

tiene valores propios y vectores propios correspondientes

λ1=−1,b1=(−3,6,1),{\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}
λ2=2,b2=(0,0,1),{\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}
λ3=4,b3=(2,1,1).{\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}

Una matriz diagonalD{\displaystyle D}, similar aA{\displaystyle A}es

D=(−100020004).{\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}

Una posible opción para una matriz invertibleMETRO{\displaystyle M}de tal manera queD=METRO−1AMETRO,{\displaystyle D=M^{-1}AM,}es

METRO=(−302601111).{\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}[ 3 ]

Tenga en cuenta que, dado que los autovectores en sí mismos no son únicos, y dado que las columnas de ambosMETRO{\displaystyle M}yD{\displaystyle D}pueden ser intercambiados, por lo tanto, ambosMETRO{\displaystyle M}yD{\displaystyle D}no son únicos. [ 4 ]

Matriz modal generalizada

DejarA{\displaystyle A}Sea una matriz n × n . Una matriz modal generalizada .METRO{\displaystyle M}paraA{\displaystyle A}es una matriz n × n cuyas columnas, consideradas como vectores, forman una base canónica paraA{\displaystyle A}y aparecen enMETRO{\displaystyle M}Según las siguientes reglas:

  • Todas las cadenas de Jordan que constan de un vector (es decir, un vector de longitud) aparecen en las primeras columnas deMETRO{\displaystyle M}.
  • Todos los vectores de una cadena aparecen juntos en columnas adyacentes deMETRO{\displaystyle M}.
  • Cada cadena aparece enMETRO{\displaystyle M}en orden de rango creciente (es decir, el vector propio generalizado de rango 1 aparece antes que el vector propio generalizado de rango 2 de la misma cadena, que aparece antes que el vector propio generalizado de rango 3 de la misma cadena, etc.). [ 5 ]

Se puede demostrar que

dóndeJ{\displaystyle J}es una matriz en forma normal de Jordan . Premultiplicando porMETRO−1{\displaystyle M^{-1}}, obtenemos

Nótese que al calcular estas matrices, la ecuación ( 1 ) es la más fácil de verificar de las dos, ya que no requiere invertir una matriz. [ 6 ]

Ejemplo

Este ejemplo ilustra una matriz modal generalizada con cuatro cadenas de Jordan. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden bajo. [ 7 ] La matriz

A=(−10−111300100000212−1−1−60−20−1213000001000000010−1−101241){\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}

tiene un único valor propioλ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}con multiplicidad algebraicaμ1=7{\displaystyle \mu _{1}=7}. Una base canónica paraA{\displaystyle A}consistirá en un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 3 (rango del vector propio generalizado; véase vector propio generalizado ), dos de rango 2 y cuatro de rango 1; o equivalentemente, una cadena de tres vectores.{incógnita3,incógnita2,incógnita1}{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}, una cadena de dos vectores{y2,y1}{\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}y dos cadenas de un vector{z1}{\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}},{w1}{\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}.

Una matriz "casi diagonal"J{\displaystyle J}en forma normal de Jordania , similar aA{\displaystyle A}se obtiene de la siguiente manera:

METRO=(z1w1incógnita1incógnita2incógnita3y1y2)=(01−100−210300100−1111020−20−100−2010000000100000000−10−10),{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}
J=(1000000010000000110000001100000010000000110000001),{\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}

dóndeMETRO{\displaystyle M}es una matriz modal generalizada paraA{\displaystyle A}, las columnas deMETRO{\displaystyle M}son una base canónica paraA{\displaystyle A}, yAMETRO=METROJ{\displaystyle AM=MJ}. [ 8 ] Nótese que dado que los autovectores generalizados en sí mismos no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambosMETRO{\displaystyle M}yJ{\displaystyle J}pueden ser intercambiados, por lo tanto, ambosMETRO{\displaystyle M}yJ{\displaystyle J}no son únicos. [ 9 ]

Notas

  1. ↑ Bronson (1970 , págs. 179–183) 
  2. ↑ Bronson (1970 , pág. 181) 
  3. ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs.271 , 272) 
  4. ↑ Bronson (1970 , pág. 181) 
  5. ↑ Bronson (1970 , pág. 205) 
  6. ↑ Bronson (1970 , págs. 206–207) 
  7. ↑ Nering (1970 , págs. 122, 123) 
  8. ↑ Bronson (1970 , págs. 208, 209) 
  9. ↑ Bronson (1970 , pág. 206) 

Referencias

  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
  • Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN 70097490 
  • Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646