Densidad espectral

Una PSD puede ser una función unilateral de solo frecuencias positivas o una función bilateral de frecuencias tanto positivas como negativas , pero con solo la mitad de la amplitud. Las PSD de ruido suelen ser unilaterales en ingeniería y bilaterales en física. ^{[ 5 ]}

En el procesamiento de señales , la energía de una señal${\displaystyle x(t)}$es dado por $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$ Suponiendo que la energía total es finita (es decir,${\displaystyle x(t)}$es una función de cuadrado integrable ) permite aplicar el teorema de Parseval (o teorema de Plancherel ). ^{[ 6 ]} Es decir, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ dónde $${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$ es la transformada de Fourier de${\displaystyle x(t)}$a frecuencia${\displaystyle f}$(en Hz ). ^{[ 7 ]} El teorema también es válido en los casos de tiempo discreto. Dado que la integral del lado izquierdo es la energía de la señal, el valor de${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$puede interpretarse como una función de densidad multiplicada por un intervalo de frecuencia infinitesimalmente pequeño, que describe la energía contenida en la señal a la frecuencia${\displaystyle f}$en el intervalo de frecuencia${\displaystyle f+df}$.

Por lo tanto, la densidad espectral de energía de${\displaystyle x(t)}$se define como ^{[ 8 ]}

La función${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$y la autocorrelación de${\displaystyle x(t)}$forman un par de transformadas de Fourier, un resultado también conocido como el teorema de Wiener-Khinchin (véase también Periodograma ).

Como ejemplo físico de cómo se podría medir la densidad espectral de energía de una señal, supongamos que...${\displaystyle V(t)}$representa el potencial (en voltios ) de un pulso eléctrico que se propaga a lo largo de una línea de transmisión de impedancia${\displaystyle Z}$y supongamos que la línea termina con una resistencia adaptada (de modo que toda la energía del pulso se entrega a la resistencia y no se refleja ninguna). Según la ley de Ohm , la potencia entregada a la resistencia en el instante${\displaystyle t}$es igual a${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$, por lo que la energía total se encuentra integrando${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$con respecto al tiempo durante la duración del pulso. Para hallar el valor de la densidad espectral de energía${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$a frecuencia${\displaystyle f}$, se podría insertar entre la línea de transmisión y la resistencia un filtro de paso de banda que solo deja pasar un rango estrecho de frecuencias (${\displaystyle \Delta f}$(por ejemplo) cerca de la frecuencia de interés y luego medir la energía total.${\displaystyle E(f)}$disipada a través de la resistencia. El valor de la densidad espectral de energía en${\displaystyle f}$Se estima entonces que${\displaystyle E(f)/\Delta f}$En este ejemplo, dado que la potencia${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$tiene la unidad V ² ⋅Ω ⁻¹ , la energía${\displaystyle E(f)}$tiene la unidad V ² ⋅s⋅Ω ⁻¹  = J , y por lo tanto la estimación${\displaystyle E(f)/\Delta f}$de la densidad espectral de energía tiene la unidad J⋅Hz ⁻¹ . En muchas situaciones, es común omitir el paso de dividir por${\displaystyle Z}$de modo que la densidad espectral de energía tenga en su lugar la unidad V ² ⋅s·Hz ⁻¹ .

Esta definición se generaliza de manera directa a una señal discreta con un número infinito numerable de valores.${\displaystyle x_{n}}$como una señal muestreada en tiempos discretos${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$: $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ dónde${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$es la transformada de Fourier de tiempo discreto de${\displaystyle x_{n}.}$ El intervalo de muestreo${\displaystyle \Delta t}$es necesario para mantener la unidad física correcta y para asegurar que recuperamos el caso continuo en el límite${\displaystyle \Delta t\to 0}$Pero en las ciencias matemáticas, el intervalo suele fijarse en 1, lo que simplifica los resultados a costa de la generalidad. (Véase también Frecuencia normalizada (unidad) ).

La definición anterior de densidad espectral de energía es adecuada para transitorios (señales tipo pulso) cuya energía se concentra alrededor de una ventana de tiempo; entonces, generalmente existen las transformadas de Fourier de las señales. Para señales continuas en todo el tiempo, se debe definir la densidad espectral de potencia (PSD), que existe para procesos estacionarios ; esta describe cómo se distribuye la potencia de una señal o serie temporal en función de la frecuencia, como en el ejemplo simple dado anteriormente. Aquí, la potencia puede ser la potencia física real o, más a menudo, por conveniencia con señales abstractas, se identifica simplemente con el valor al cuadrado de la señal. Por ejemplo, los estadísticos estudian la varianza de una función en función del tiempo.${\displaystyle x(t)}$(o sobre otra variable independiente), y utilizando una analogía con las señales eléctricas (entre otros procesos físicos), es habitual referirse a él como el espectro de potencia incluso cuando no hay potencia física involucrada. Si uno creara una fuente de voltaje física que siguiera${\displaystyle x(t)}$y lo aplicamos a los terminales de una resistencia de un ohmio , entonces, efectivamente, la potencia instantánea disipada en esa resistencia estaría dada por${\displaystyle x^{2}(t)}$vatios .

La potencia promedio${\displaystyle P}$de una señal${\displaystyle x(t)}$Por lo tanto, el promedio temporal a lo largo de todo el tiempo viene dado por el siguiente promedio temporal, donde el período${\displaystyle T}$está centrado en algún momento arbitrario${\displaystyle t=t_{0}}$: $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Siempre que sea más conveniente tratar con límites de tiempo en la propia señal en lugar de límites de tiempo en los límites de la integral, la potencia promedio también se puede escribir como $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$ dónde${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$y${\displaystyle w_{T}(t)}$es la unidad dentro del período arbitrario y cero en cualquier otro lugar.

Cuando${\displaystyle P}$es distinto de cero, la integral debe crecer hasta el infinito al menos tan rápido como${\displaystyle T}$Sí. Esa es la razón por la que no podemos usar la energía de la señal, que es esa integral divergente.

Al analizar el contenido de frecuencia de la señal${\displaystyle x(t)}$, uno podría querer calcular la transformada de Fourier ordinaria${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$Sin embargo, para muchas señales de interés, la transformada de Fourier ordinaria no existe formalmente. ^{[ nb 1 ]} Sin embargo, bajo condiciones adecuadas, ciertas generalizaciones de la transformada de Fourier (por ejemplo, la transformada de Fourier-Stieltjes ) aún se adhieren al teorema de Parseval . Como tal, $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$ donde el integrando define la densidad espectral de potencia : ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El teorema de convolución permite entonces considerar${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$como la transformada de Fourier de la convolución temporal de${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$y${\displaystyle x_{T}(t)}$, donde * representa el conjugado complejo.

Para probar la afirmación que se muestra a continuación de la ecuación 2, encontraremos una expresión para${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$eso será útil para el propósito. De hecho, demostraremos que${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$. Comencemos por señalar que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ y dejar${\displaystyle z=-t}$, de modo que${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$cuando${\displaystyle t\rightarrow \infty }$y viceversa. Así que $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ donde, en la última línea, se ha hecho uso de${\displaystyle z}$y${\displaystyle t}$siendo variables ficticias. Entonces, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ qed

Ahora, demostremos la afirmación que se muestra a continuación en la ecuación 2 utilizando la identidad demostrada. Además, realizaremos la sustitución.${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$De esta manera, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$ donde se ha utilizado el teorema de convolución al pasar de la tercera a la cuarta línea.

Ahora, si dividimos la convolución temporal anterior por el período${\displaystyle T}$y tomar el límite como${\displaystyle T\rightarrow \infty }$, se convierte en la función de autocorrelación de la señal sin ventana${\displaystyle x(t)}$, que se denota como${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$, siempre que${\displaystyle x(t)}$es ergódico , lo cual es cierto en la mayoría, pero no en todos, los casos prácticos. ^{[ nb 2 ]}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Suponiendo la ergodicidad de${\displaystyle x(t)}$La densidad espectral de potencia se puede encontrar una vez más como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación.${\displaystyle R_{xx}}$, una propiedad conocida como el teorema de Wiener-Khinchin . ^{[ 11 ]}

Muchos autores utilizan esta relación para definir la densidad espectral de potencia en términos de la función de autocorrelación en lugar de la transformada de Fourier de la señal, como lo hemos hecho nosotros. ^{[ 12 ]}

La potencia de la señal en una banda de frecuencia determinada${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$, dónde${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$, se puede calcular integrando sobre la frecuencia. Dado que${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$Se puede atribuir una cantidad igual de potencia a las bandas de frecuencia positivas y negativas, lo que explica el factor de 2 de la siguiente forma (estos factores triviales dependen de las convenciones utilizadas): $${\displaystyle P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ De forma más general, se pueden utilizar técnicas similares para estimar una densidad espectral variable en el tiempo. En este caso, el intervalo de tiempo${\displaystyle T}$es finito en lugar de tender al infinito. Esto resulta en una cobertura y resolución espectral reducidas, ya que las frecuencias de menos de${\displaystyle 1/T}$no se muestrean y los resultados en frecuencias que no son un múltiplo entero de${\displaystyle 1/T}$no son independientes. Si se utiliza una sola serie temporal de este tipo, el espectro de potencia estimado será muy "ruidoso"; sin embargo, esto puede aliviarse si es posible evaluar el valor esperado (en la ecuación anterior) utilizando un gran (o infinito) número de espectros a corto plazo correspondientes a conjuntos estadísticos de realizaciones de${\displaystyle x(t)}$evaluado durante el intervalo de tiempo especificado.

Al igual que con la densidad espectral de energía, la definición de la densidad espectral de potencia puede generalizarse a variables de tiempo discretas .${\displaystyle x_{n}}$. Como antes, podemos considerar una ventana de${\displaystyle -N\leq n\leq N}$con la señal muestreada en tiempos discretos${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$para un período de medición total${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$. $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ Tenga en cuenta que se puede obtener una única estimación de la PSD mediante un número finito de muestreos. Como antes, la PSD real se obtiene cuando${\displaystyle N}$(y por lo tanto${\displaystyle T}$) se aproxima al infinito y el valor esperado se aplica formalmente. En una aplicación del mundo real, normalmente se promediaría una PSD de medición finita sobre muchos ensayos para obtener una estimación más precisa de la PSD teórica del proceso físico subyacente a las mediciones individuales. Esta PSD calculada a veces se denomina periodograma . Este periodograma converge a la PSD verdadera a medida que el número de estimaciones, así como el intervalo de tiempo de promediado, aumentan.${\displaystyle T}$acercarse al infinito. ^{[ 13 ]}

Si dos señales poseen densidades espectrales de potencia, entonces la densidad espectral cruzada se puede calcular de manera similar; así como la PSD está relacionada con la autocorrelación, también lo está la densidad espectral cruzada con la correlación cruzada .

Dadas dos señales${\displaystyle x(t)}$y${\displaystyle y(t)}$cada uno de los cuales posee densidades espectrales de potencia${\displaystyle S_{xx}(f)}$y${\displaystyle S_{yy}(f)}$Es posible definir una densidad espectral de potencia cruzada ( CPSD ) o una densidad espectral cruzada ( CSD ). Para empezar, consideremos la potencia promedio de dicha señal combinada. $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Utilizando la misma notación y los mismos métodos que se emplearon para la derivación de la densidad espectral de potencia, aprovechamos el teorema de Parseval y obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ donde, de nuevo, las contribuciones de${\displaystyle S_{xx}(f)}$y${\displaystyle S_{yy}(f)}$ya se entienden. Tenga en cuenta que${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$, por lo que la contribución total a la potencia cruzada es, generalmente, del doble de la parte real de cualquiera de los CPSD individuales . Al igual que antes, a partir de aquí reformulamos estos productos como la transformada de Fourier de una convolución temporal, que cuando se divide por el período y se lleva al límite${\displaystyle T\to \infty }$se convierte en la transformada de Fourier de una función de correlación cruzada . ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$es la correlación cruzada de${\displaystyle x(t)}$con${\displaystyle y(t)}$y${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$es la correlación cruzada de${\displaystyle y(t)}$con${\displaystyle x(t)}$. En vista de esto, se considera que el PSD es un caso especial del CSD para${\displaystyle x(t)=y(t)}$. Si${\displaystyle x(t)}$y${\displaystyle y(t)}$son señales reales (por ejemplo, voltaje o corriente), sus transformadas de Fourier${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$y${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$Por convención, suelen estar restringidos a frecuencias positivas. Por lo tanto, en el procesamiento de señales típico, la CPSD completa es simplemente una de las CPSD escalada por un factor de dos. $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Para señales discretas x _n e y n , la relación entre la densidad espectral cruzada y la covarianza cruzada _es$${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

El concepto y el uso del espectro de potencia de una señal son fundamentales en la ingeniería eléctrica , especialmente en los sistemas de comunicación electrónica , incluyendo las radiocomunicaciones , los radares y sistemas relacionados, así como la tecnología de teledetección pasiva . Los instrumentos electrónicos denominados analizadores de espectro se utilizan para observar y medir los espectros de potencia de las señales.

El analizador de espectro mide la magnitud de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) de una señal de entrada. Si la señal analizada puede considerarse un proceso estacionario, la STFT proporciona una buena estimación suavizada de su densidad espectral de potencia.

Las fluctuaciones primordiales , variaciones de densidad en el universo primitivo, se cuantifican mediante un espectro de potencia que proporciona la potencia de las variaciones en función de la escala espacial.