Subvariedad espectral

En sistemas dinámicos , una subvariedad espectral (SSM) es la única variedad invariante más suave que sirve como extensión no lineal de un subespacio espectral de un sistema dinámico lineal bajo la adición de no linealidades. ^{[ 2 ]} La teoría de SSM proporciona condiciones para cuando las propiedades invariantes de los espacios propios de un sistema dinámico lineal pueden extenderse a un sistema no lineal y, por lo tanto, motiva el uso de SSM en la reducción de dimensionalidad no lineal .

Los SSM se emplean principalmente para la reducción exacta de modelos de sistemas dinámicos. Para el cálculo automatizado de SSM y el análisis de la dinámica reducida, se han publicado paquetes de software en línea de código abierto como SSMTool y SSMLearn . Estas herramientas permiten estudiar la dinámica del sistema a partir de las ecuaciones de movimiento subyacentes o de los datos de trayectoria, admitiendo enfoques tanto analíticos como basados ​​en datos. ^{[ 3 ] [ 4 ]} La documentación detallada de SSMTool está disponible en línea. ^{[ 5 ]}

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria no lineal de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

con matriz constante${\displaystyle \ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$y las no linealidades contenidas en la función suave${\displaystyle f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})}$.

Supongamos que${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}<0}$para todos los valores propios${\displaystyle \lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n}$de${\displaystyle A}$, es decir, el origen es un punto fijo asintóticamente estable. Ahora seleccione un intervalo${\displaystyle E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}}$de${\displaystyle m}$vectores propios${\displaystyle v_{i}^{E}}$de${\displaystyle A}$. Entonces, el espacio propio${\displaystyle E}$es un subespacio invariante del sistema linealizado

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Bajo la adición de la no linealidad${\displaystyle f_{0}}$al sistema lineal,${\displaystyle E}$Generalmente, se descompone en infinitas variedades invariantes. Entre estas variedades invariantes, la única más suave se denomina subvariedad espectral.

Un resultado equivalente para SSM inestables se cumple para${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}>0}$.

La teoría sobre subvariedades espectrales se extiende a sistemas no lineales no autónomos de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,}$

con${\displaystyle f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$un término de forzamiento cuasiperiódico . ^{[ 7 ]}

Las subvariedades espectrales son útiles para la reducción rigurosa de la dimensionalidad no lineal en sistemas dinámicos. La reducción de un espacio de fase de alta dimensión a una variedad de menor dimensión puede conducir a simplificaciones importantes al permitir una descripción precisa del comportamiento asintótico principal del sistema. ^{[ 8 ]} Para un sistema dinámico conocido, las SSM se pueden calcular analíticamente resolviendo las ecuaciones de invariancia, y los modelos reducidos en las SSM se pueden emplear para predecir la respuesta a la forzante. ^{[ 9 ]}

Además, estas variedades también pueden extraerse directamente de los datos de trayectoria de un sistema dinámico mediante el uso de algoritmos de aprendizaje automático. ^{[ 10 ]}

• Variedad invariante
• Reducción de dimensionalidad no lineal
• Estructura coherente lagrangiana

• Herramienta para el cálculo automatizado de SSM