Empaquetamiento de esferas

En geometría , un empaquetamiento de esferas es una disposición de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas del mismo tamaño, y el espacio suele ser el espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas pueden generalizarse para considerar esferas desiguales, espacios de otras dimensiones (donde el problema se convierte en empaquetamiento de círculos en dos dimensiones, o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o a espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .

Un problema típico de empaquetamiento de esferas consiste en encontrar una disposición en la que las esferas ocupen la mayor parte del espacio posible. La proporción de espacio ocupado por las esferas se denomina densidad de empaquetamiento de la disposición. Dado que la densidad local de un empaquetamiento en un espacio infinito puede variar según el volumen sobre el que se mida, el problema suele consistir en maximizar la densidad media o asintótica , medida sobre un volumen suficientemente grande.

Para esferas iguales en tres dimensiones, el empaquetamiento más denso utiliza aproximadamente el 74% del volumen. Un empaquetamiento aleatorio de esferas iguales generalmente tiene una densidad de alrededor del 63,5%. ^{[ 1 ]}

Una disposición reticular (comúnmente llamada disposición regular ) es aquella en la que los puntos de la red forman un patrón muy simétrico que, en el espacio euclidiano n - dimensional , solo necesita n vectores para ser definido. Las disposiciones reticulares son periódicas y tienen la propiedad de que cuando la red se traslada (se mueve) de manera que un punto se coloca donde estaba otro, la disposición es la misma que antes. Las disposiciones en las que los puntos no forman una red también pueden ser periódicas, pero también aperiódicas , lo que incluye disposiciones aleatorias . Los empaquetamientos reticulares son más fáciles de clasificar que aquellos que no son redes debido a su alto grado de simetría . Las redes periódicas tienen densidades bien definidas.

Si intentamos construir una colección densamente empaquetada de esferas, nos veremos tentados a colocar siempre la siguiente esfera en un hueco entre tres esferas empaquetadas. Si se ensamblan cinco esferas de esta manera, serán consistentes con una de las disposiciones de empaquetamiento regular descritas anteriormente. Sin embargo, la sexta esfera colocada de esta manera hará que la estructura sea inconsistente con cualquier disposición regular. Esto da como resultado la posibilidad de un empaquetamiento compacto aleatorio de esferas que es estable frente a la compresión. ^{[ 8 ]} La vibración de un empaquetamiento suelto aleatorio puede dar como resultado la disposición de partículas esféricas en empaquetamientos regulares, un proceso conocido como cristalización granular . Dichos procesos dependen de la geometría del contenedor que contiene los granos esféricos. ^{[ 2 ]}

Cuando se añaden esferas al azar a un recipiente y luego se comprimen, generalmente forman lo que se conoce como una configuración de empaquetamiento "irregular" o "atascada" cuando ya no se pueden comprimir más. Este empaquetamiento irregular generalmente tendrá una densidad de alrededor del 64%. Investigaciones recientes predicen analíticamente que no puede superar un límite de densidad del 63,4% ^{[ 9 ].} Esta situación es diferente al caso de una o dos dimensiones, donde la compresión de un conjunto de esferas unidimensionales o bidimensionales (es decir, segmentos de línea o círculos) dará como resultado un empaquetamiento regular.

El problema del empaquetamiento de esferas es la versión tridimensional de una clase de problemas de empaquetamiento de bolas en dimensiones arbitrarias. En dos dimensiones, el problema equivalente es el empaquetamiento de círculos en un plano. En una dimensión, es el empaquetamiento de segmentos de línea en un universo lineal. ^{[ 10 ]}

Se conocen los empaquetamientos reticulares más densos de hiperesferas para 1–8 y 24 dimensiones. ^{[ 11 ]} Se sabe relativamente poco sobre los empaquetamientos de hiperesferas no reticulares, y el resultado óptimo solo se conoce en las dimensiones 1–3, 8 y 24; es posible que en algunas dimensiones el empaquetamiento más denso sea irregular. Esta conjetura se ve respaldada por el hecho de que en ciertas dimensiones (por ejemplo, 10) el empaquetamiento irregular más denso conocido es más denso que el empaquetamiento regular más denso conocido. ^{[ 12 ]}

En 2016, Maryna Viazovska anunció una prueba de que la red E ₈ , que tiene una densidad de empaquetamiento de${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}}$, proporciona el empaquetamiento óptimo (independientemente de la regularidad) en el espacio de ocho dimensiones. ^{[ 13 ]} Poco después, ella y un grupo de colaboradores anunciaron una prueba similar de que la red de Leech , con una densidad de${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$, es óptimo en 24 dimensiones. ^{[ 14 ]} Estos resultados se basaron en métodos previos y los mejoraron, demostrando que estas dos redes están muy cerca de ser óptimas. ^{[ 15 ]} Las nuevas demostraciones implican el uso de la transformada de Laplace de una función modular cuidadosamente elegida para construir una función radialmente simétrica f tal que f y su transformada de Fourier f̂  sean iguales a 1 en el origen , y ambas se anulen en todos los demás puntos de la red óptima, con f negativa fuera de la esfera central del empaquetamiento y f̂ positiva. Luego, se utiliza la fórmula de suma de Poisson para f para comparar la densidad de la red óptima con la de cualquier otro empaquetamiento. ^{[ 16 ]} Antes de que la demostración fuera revisada y publicada formalmente , el matemático Peter Sarnak la calificó de "sorprendentemente simple" y escribió que "Simplemente empiezas a leer el artículo y sabes que esto es correcto". ^{[ 17 ]} 

Otra línea de investigación en altas dimensiones trata de encontrar límites asintóticos para la densidad de los empaquetamientos más densos. Se sabe que para n grande , la red más densa en dimensión n tiene densidad${\displaystyle \theta (n)}$entre cn ⋅ 2 ^{− n} (para alguna constante c ) y 2 ^{−(0.599+o(1)) n} . ^{[ 18 ]} Los límites conjeturales se encuentran entre. ^{[ 19 ]} En una preimpresión de 2023, Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen y Julian Sahasrabudhe anunciaron una mejora al límite inferior de la densidad máxima a${\displaystyle \theta (n)\geq (1-o(1)){\frac {n\ln n}{2^{n+1}}}}$; ^{[ 20 ] [ 21 ]} entre sus técnicas utilizan el método Rödl . En una preimpresión de abril de 2025, Bo'az Klartag anunció una mejora significativa adicional:${\displaystyle \theta (n)\geq c{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}$. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Klartag considera su trabajo como una adaptación de evolución estocástica del argumento de retículo aleatorio de CA Rogers .

Muchos problemas en las ciencias químicas y físicas pueden relacionarse con problemas de empaquetamiento donde se dispone de esferas de más de un tamaño. En estos casos, se debe elegir entre separar las esferas en regiones de empaquetamiento compacto de esferas iguales o combinar las esferas de diferentes tamaños en un empaquetamiento compuesto o intersticial . Cuando se dispone de esferas de muchos tamaños (o una distribución ), el problema se vuelve rápidamente intratable, pero existen algunos estudios sobre esferas rígidas binarias (de dos tamaños).

Cuando la segunda esfera es mucho más pequeña que la primera, es posible disponer las esferas grandes en una disposición compacta y luego disponer las esferas pequeñas dentro de los huecos octaédricos y tetraédricos. La densidad de este empaquetamiento intersticial depende sensiblemente de la relación de radios, pero en el límite de relaciones de tamaño extremas, las esferas más pequeñas pueden llenar los huecos con la misma densidad que el espacio lleno por las esferas más grandes. ^{[ 25 ]} Incluso si las esferas grandes no están en una disposición compacta, siempre es posible insertar algunas esferas más pequeñas de hasta0,290 99 del radio de la esfera más grande. ^{[ 26 ]}

Cuando la esfera más pequeña tiene un radio mayor que0,414 21 del radio de la esfera más grande, ya no es posible encajar ni siquiera en los huecos octaédricos de la estructura compacta. Por lo tanto, más allá de este punto, o bien la estructura anfitriona debe expandirse para acomodar los intersticiales (lo que compromete la densidad general), o bien reorganizarse en una estructura de compuesto cristalino más compleja. Se conocen estructuras que superan la densidad de empaquetamiento compacto para relaciones de radio de hasta0,659 786 . ^{[ 24 ] [ 27 ]}

También se han obtenido límites superiores para la densidad que se puede obtener en tales empaquetamientos binarios utilizando un análogo continuo de la jerarquía de suma de cuadrados de programas semidefinidos . ^{[ 28 ]}

En muchas situaciones químicas, como en los cristales iónicos , la estequiometría está condicionada por las cargas de los iones constituyentes. Esta restricción adicional sobre el empaquetamiento, junto con la necesidad de minimizar la energía de Coulomb de las cargas que interactúan, da lugar a una diversidad de disposiciones de empaquetamiento óptimas.

El límite superior para la densidad de un empaquetamiento de esferas estrictamente compactadas con cualquier conjunto de radios es 1 ; un ejemplo de dicho empaquetamiento de esferas es el empaquetamiento de esferas apolíneo. El límite inferior para dicho empaquetamiento de esferas es 0 ; un ejemplo es el empaquetamiento de esferas dionisíaco. ^{[ 29 ]}  

Aunque el concepto de círculos y esferas puede extenderse al espacio hiperbólico , encontrar el empaquetamiento más denso se vuelve mucho más difícil. En un espacio hiperbólico no hay límite para el número de esferas que pueden rodear a otra esfera (por ejemplo, los círculos de Ford pueden considerarse como una disposición de círculos hiperbólicos idénticos en la que cada círculo está rodeado por un número infinito de otros círculos). El concepto de densidad promedio también se vuelve mucho más difícil de definir con precisión. Los empaquetamientos más densos en cualquier espacio hiperbólico son casi siempre irregulares. ^{[ 30 ]}

A pesar de esta dificultad, K. Böröczky proporciona una cota superior universal para la densidad de empaquetamientos de esferas del espacio hiperbólico n, donde n  ≥  2. ^{[ 31 ]} En tres dimensiones, la cota de Böröczky es aproximadamente85,327 613 % , y se realiza mediante el empaquetamiento horoesférico del panal tetraédrico de orden 6 con símbolo de Schläfli { 3,3,6 } . ^{[ 32 ]} Además de esta configuración, se sabe que existen al menos otros tres empaquetamientos horoesféricos en el espacio hiperbólico 3-dimensional que realizan el límite superior de densidad. ^{[ 33 ]}

El grafo de contacto de un empaquetamiento finito arbitrario de bolas unitarias es el grafo cuyos vértices corresponden a los elementos del empaquetamiento y cuyos dos vértices están conectados por una arista si los dos elementos correspondientes del empaquetamiento se tocan. La cardinalidad del conjunto de aristas del grafo de contacto da el número de pares que se tocan, el número de 3-ciclos en el grafo de contacto da el número de tripletes que se tocan, y el número de tetraedros en el grafo de contacto da el número de cuádruples que se tocan (en general, para un grafo de contacto asociado a un empaquetamiento de esferas en n dimensiones, la cardinalidad del conjunto de n -símplices en el grafo de contacto da el número de ( n  +  1)-tuplas que se tocan en el empaquetamiento de esferas). En el caso del espacio euclidiano tridimensional, Karoly Bezdek y Samuel Reid, de la Universidad de Calgary, demostraron cotas superiores no triviales para el número de pares, tripletes y cuádruples que se tocan ^{[ 34 ] .}

El problema de encontrar la disposición de n esferas idénticas que maximice el número de puntos de contacto entre ellas se conoce como el "problema de las esferas pegajosas". Se conoce el máximo para n ≤ 11, y solo se conocen valores conjeturales para valores mayores de n . ^{[ 35 ]}

El empaquetamiento de esferas en los vértices de un hipercubo (con bolas de Hamming , esferas definidas por la distancia de Hamming ) corresponde al diseño de códigos correctores de errores : si las esferas tienen radio t , entonces sus centros son palabras clave de un código corrector de errores (2 t  +  1). Los empaquetamientos reticulares corresponden a códigos lineales. Existen otras relaciones más sutiles entre el empaquetamiento de esferas euclidianas y los códigos correctores de errores. Por ejemplo, el código binario de Golay está estrechamente relacionado con la red de Leech de 24 dimensiones.

Para obtener más detalles sobre estas conexiones, consulte el libro Sphere Packings, Lattices and Groups de Conway y Sloane . ^{[ 36 ]}

• Aste, T.; Weaire, D. (2000). La búsqueda del empaquetamiento perfecto . Londres: Institute of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0648-3.
• Conway, JH ; Sloane, NJH (1998). Empaquetamientos de esferas, retículos y grupos (3.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-98585-9.
• Sloane, NJA (1984). "El empaquetamiento de esferas" . Scientific American . 250 : 116–125 . Bibcode : 1984SciAm.250e.116G . doi : 10.1038/scientificamerican0584-116 .

• Dana Mackenzie (mayo de 2002) " Un buen lío " (New Scientist) – Una visión general no técnica del empaquetamiento en el espacio hiperbólico.
• Weisstein, Eric W. "Empaquetamiento de círculos" . MathWorld .
• "Kugelpackungen (Sphere Packing)" (TE Dorozinski)
• "Applet de empaquetamiento de esferas 3D" Archivado el 26 de abril de 2009 en Wayback Machine. Applet de Java para empaquetamiento de esferas.
• Applet de Java "Empaquetamiento más denso de esferas en una esfera"
• "Base de datos de empaquetamientos de esferas" (Erik Agrell)