El problema esférico de Bernstein

El problema esférico de Bernstein es una posible generalización del problema original de Bernstein en el campo de la geometría diferencial global , propuesto por primera vez por Shiing-Shen Chern en 1969, y luego en 1970, durante su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza .

El problema

¿Están los ecuadores en $\mathbb {S} ^{n+1}$ las únicas hipersuperficies mínimas suaves incrustadas que son topológicas $n$ ¿Esferas dimensionales?

Además, el problema esférico de Bernstein , si bien es una generalización del problema original de Bernstein, también puede generalizarse aún más reemplazando el espacio ambiente. $\mathbb {S} ^{n+1}$ mediante un espacio simétrico compacto y simplemente conexo. Algunos resultados en esta dirección se deben al trabajo de Wu-Yi Hsiang , Wu-Teh Hsiang y P. Tomter .

Formulaciones alternativas

A continuación se presentan dos formas alternativas de expresar el problema:

La segunda formulación

Sea la esfera ( n − 1) incrustada como una hipersuperficie mínima en $S^{n}$ (1). ¿Es necesariamente un ecuador?

Según el teorema de Almgren - Calabi , es cierto cuando n = 3 (o n = 2 para la primera formulación).

Wu-Yi Hsiang lo demostró para n ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14} (o n ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13}, respectivamente).

En 1987, Per Tomter lo demostró para todos los n pares (o todos los n impares , respectivamente).

Por lo tanto, solo permanece desconocido para todos los n impares ≥ 9 (o todos los n pares ≥ 8, respectivamente).

La tercera formulación

¿Es cierto que una hiperesfera mínima incrustada dentro de la Euclidiana $n$ ¿La esfera es necesariamente un ecuador?

Geométricamente, el problema es análogo al siguiente problema:

¿La topología local en un punto singular aislado de una hipersuperficie mínima es necesariamente diferente de la de un disco?

Por ejemplo, la respuesta afirmativa para el problema esférico de Bernstein cuando n = 3 es equivalente al hecho de que la topología local en un punto singular aislado de cualquier hipersuperficie mínima en una 4-variedad riemanniana arbitraria debe ser diferente de la de un disco.

Lecturas adicionales

F.J. Almgren, Jr., Algunos teoremas de regularidad interior para superficies mínimas y una extensión del teorema de Bernstein, Annals of Mathematics , volumen 85, número 1 (1966), págs. 277-292
E. Calabi, Inmersiones mínimas de superficies en espacios euclidianos, Journal of Differential Geometry , volumen 1 (1967), págs. 111–125
P. Tomter, El problema esférico de Bernstein en dimensiones pares y problemas relacionados, Acta Mathematica , volumen 158 (1987), págs. 189-212
S.-S. Chern, Breve estudio de subvariedades mínimas, Tagungsbericht (1969), Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
S.-S. Chern, Geometría diferencial, su pasado y su futuro, Actes du Congrès international des mathématiciens (Niza, 1970), volumen 1, págs. 41–53, Gauthier-Villars , (1971)
W.-Y. Hsiang, Conos mínimos y el problema esférico de Bernstein. I, Annals of Mathematics , volumen 118 (1983), número 1, pp. 61–73.
W.-Y. Hsiang, Conos mínimos y el problema esférico de Bernstein. II, Inventiones mathematicae , volumen 74 (1983), número 3, pp. 351–369.
W.-Y. Hsiang, W.-T. Hsiang, P. Tomter, Sobre la existencia de hiperesferas mínimas en espacios simétricos compactos, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , volumen 21 (1988), págs.