Base esférica

En las bases esféricas denotadas e ₊ , e ₋ , e ₀ , y las coordenadas asociadas con respecto a esta base, denotadas A ₊ , A ₋ , A ₀ , el vector A es:

donde los vectores de la base esférica se pueden definir en términos de la base cartesiana utilizando coeficientes de valor complejo en el plano xy : ^{[ 1 ]}

en el cual${\displaystyle i}$denota la unidad imaginaria y una normal al plano en la dirección z :

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

Las relaciones inversas son:

Si bien dar una base en un espacio tridimensional es una definición válida para un tensor esférico, solo cubre el caso en que el rango${\displaystyle k}$es 1. Para rangos superiores, se puede utilizar la definición de conmutador o de rotación de un tensor esférico. La definición de conmutador se da a continuación, cualquier operador${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$que satisface las siguientes relaciones es un tensor esférico: $${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$$${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

De forma análoga a cómo se transforman los armónicos esféricos bajo una rotación, un tensor esférico general se transforma de la siguiente manera, cuando los estados se transforman bajo la matriz D de Wigner unitaria .${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$donde R es un elemento del grupo de rotación (3×3) en SO(3) . Es decir, estas matrices representan los elementos del grupo de rotación. Con la ayuda de su álgebra de Lie , se puede demostrar que estas dos definiciones son equivalentes.

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

Para la base esférica, las coordenadas son números de valor complejo A ₊ , A ₀ , A ₋ , y se pueden encontrar sustituyendo ( 3B ) en ( 1 ), o calculándolas directamente a partir del producto interno ⟨ , ⟩ ( 5 ):

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

con relaciones inversas:

En general, para dos vectores con coeficientes complejos en la misma base ortonormal de valores reales e _i , con la propiedad e _i · e _j = δ _ij , el producto interno es:

donde · es el producto escalar usual y el conjugado complejo * debe usarse para mantener la magnitud (o "norma") del vector definida positiva .

La base esférica es una base ortonormal , ya que el producto interno ⟨ , ⟩ ( 5 ) de cada par se anula, lo que significa que los vectores base son todos mutuamente ortogonales :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

y cada vector base es un vector unitario :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

de ahí la necesidad de los factores de normalización de${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$.

Las relaciones definitorias ( 3A ) se pueden resumir mediante una matriz de transformación U :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

con inverso:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Se puede observar que U es una matriz unitaria , en otras palabras, su conjugada hermitiana U ^† ( conjugada compleja y transpuesta de la matriz ) es también la matriz inversa U ⁻¹ .

Para las coordenadas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

y viceversa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Al tomar productos vectoriales de los vectores de la base esférica, encontramos una relación obvia:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

donde q es un marcador de posición para +, −, 0 y dos relaciones menos obvias:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

El producto interno entre dos vectores A y B en la base esférica se deduce de la definición anterior del producto interno:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

• SSM Wong (2008). Física nuclear introductoria (2.ª  ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-35-276-179-13.