casquete esférico

Tenga en cuenta que, aparte del argumento basado en cálculo que se presenta a continuación, el área de la calota esférica se puede derivar del volumen.${\displaystyle V_{sec}}$del sector esférico , por un argumento intuitivo, ^{[ 2 ]} como

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

El argumento intuitivo se basa en sumar el volumen total del sector a partir del de pirámides triangulares infinitesimales . Utilizando la fórmula del volumen de la pirámide (o cono)${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$, dónde${\displaystyle b}$es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y${\displaystyle h'}$es la altura de cada pirámide desde su base hasta su vértice (en el centro de la esfera). Dado que cada${\displaystyle h'}$, en el límite, es constante y equivalente al radio${\displaystyle r}$de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimales sería igual al área del sector esférico, y:

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

Las fórmulas de volumen y área se pueden derivar examinando la rotación de la función.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

para${\displaystyle x\in [0,h]}$, utilizando las fórmulas de la superficie de rotación para el área y el sólido de revolución para el volumen. El área es

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

El derivado de${\displaystyle f}$es

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

Por lo tanto, la fórmula para el área es:

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

El volumen es

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

El volumen de la unión de dos esferas que se intersecan con radios${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$es ^{[ 3 ]}

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

dónde

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

la suma de los volúmenes de las dos tapas esféricas que forman su intersección. Si${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$es la distancia entre los centros de las dos esferas, eliminación de las variables${\displaystyle h_{1}}$y${\displaystyle h_{2}}$conduce a ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

El volumen de una calota esférica con una base curva se puede calcular considerando dos esferas con radios${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$, separados por alguna distancia${\displaystyle d}$y para las cuales sus superficies se intersecan en${\displaystyle x=h}$. Es decir, la curvatura de la base proviene de la esfera 2. El volumen es, por lo tanto, la diferencia entre la tapa de la esfera 2 (con altura${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$) y la tapa de la esfera 1 (con altura${\displaystyle h}$),

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

Esta fórmula es válida solo para configuraciones que satisfacen${\displaystyle 0<d<r_{2}}$y${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$. Si la esfera 2 es muy grande, de tal manera que${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$, por eso${\displaystyle d\gg h}$y${\displaystyle r_{2}\approx d}$, que es el caso de una calota esférica con una base que tiene una curvatura insignificante, la ecuación anterior es igual al volumen de una calota esférica con una base plana, como era de esperar.

Consideremos dos esferas que se intersecan con radios${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$, con sus centros separados por distancia${\displaystyle d}$Se cruzan si

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

Según la ley de los cosenos , el ángulo polar de la calota esférica sobre la esfera de radio${\displaystyle r_{1}}$es

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

Utilizando esto, el área de la superficie de la calota esférica en la esfera de radio${\displaystyle r_{1}}$es

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

El área de la superficie curva del segmento esférico delimitado por dos discos paralelos es la diferencia de las áreas de las superficies de sus respectivas casquetes esféricos. Para una esfera de radio${\displaystyle r}$y tapas con alturas${\displaystyle h_{1}}$y${\displaystyle h_{2}}$, la zona es

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

o bien, utilizando coordenadas geográficas con latitudes${\displaystyle \phi _{1}}$y${\displaystyle \phi _{2}}$, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de radio 6371  km, el área de la superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, a una latitud de 66,56° en agosto de 2016 ^{[ 7 ]} ) es 2 π ⋅ 6371 ² | sin 90° − sin 66,56° | = 21,04 millones de km ² (8,12 millones de mi ² ) , o 0,5 ⋅ | sin 90° − sin 66,56° | = 4,125% del área total de la superficie de la Tierra.    

Esta fórmula también se puede utilizar para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30° Sur y 30° Norte en una zona esférica que abarca todos los trópicos .

La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de manera que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (tenga un eje de rotación), y de igual modo la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide .

Generalmente, el${\displaystyle n}$-volumen dimensional de una calota hiperesférica de altura${\displaystyle h}$y radio${\displaystyle r}$en${\displaystyle n}$El espacio euclidiano de dimensión viene dado por: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$$ dónde${\displaystyle \Gamma }$(la función gamma ) viene dada por${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

La fórmula para${\displaystyle V}$puede expresarse en términos del volumen de la unidad n-bola${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$y la función hipergeométrica${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$o la función beta incompleta regularizada${\displaystyle I_{x}(a,b)}$como $${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

y la fórmula del área${\displaystyle A}$se puede expresar en términos del área de la unidad n-bola${\textstyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$como $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$ dónde${\displaystyle 0\leq h\leq r}$.

A. Chudnov ^{[ 9 ]} derivó las siguientes fórmulas: $${\displaystyle A=A_{n}r^{n-1}p_{n-2}(q),\,V=C_{n}r^{n}p_{n}(q),}$$dónde $${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$$${\displaystyle G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

Para impares${\displaystyle n=2k+1}$: $${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$$