Campo esféricamente completo

En matemáticas, un cuerpo K con un valor absoluto se denomina esféricamente completo si la intersección de toda secuencia decreciente de bolas (en el sentido de la métrica inducida por el valor absoluto) no es vacía: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots \Rightarrow \bigcap _{n\in {\mathbf {N} }}B_{n}\neq \emptyset .}$

La definición también se puede adaptar a un cuerpo K con una valuación v que toma valores en un grupo abeliano ordenado arbitrario: ( K , v ) es esféricamente completo si toda colección de bolas que está totalmente ordenada por inclusión tiene una intersección no vacía.

Los cuerpos esféricamente completos son importantes en el análisis funcional no arquimediano , ya que muchos resultados análogos a los teoremas del análisis funcional clásico requieren que el cuerpo base sea esféricamente completo. ^{[ 2 ]}

• Cualquier cuerpo localmente compacto es esféricamente completo. Esto incluye, en particular, los cuerpos Q _p de números p-ádicos y cualquiera de sus extensiones finitas.
• Todo cuerpo esféricamente completo es completo . Por otro lado, C _p , la completación de la clausura algebraica de Q _p , no es esféricamente completo. ^{[ 3 ]}
• Cualquier campo de la serie de Hahn es esféricamente completo.