interacción espín-órbita

La energía de un momento magnético en un campo magnético viene dada por $${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B},}$$ donde μ es el momento magnético de la partícula y B es el campo magnético que experimenta.

Primero abordaremos el campo magnético . Aunque en el sistema de referencia del núcleo no actúa ningún campo magnético sobre el electrón, sí lo hay en el sistema de referencia del electrón (véase electromagnetismo clásico y relatividad especial ). Ignorando por ahora que este sistema de referencia no es inercial , llegamos a la ecuación $${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} {c^{2}}},}$$ donde v es la velocidad del electrón y E es el campo eléctrico a través del cual viaja. ^{[ a ]} ​​Aquí, en el límite no relativista, asumimos que el factor de Lorentz${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$Ahora sabemos que E es radial, así que podemos reescribir${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$También sabemos que el momento del electrón${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$. Sustituyendo estos y cambiando el orden del producto cruzado (usando la identidad${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$) da $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

A continuación, expresamos el campo eléctrico como el gradiente del potencial eléctrico.${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$Aquí hacemos la aproximación de campo central , es decir, que el potencial electrostático es esféricamente simétrico, por lo que es solo una función del radio. Esta aproximación es exacta para el hidrógeno y los sistemas similares al hidrógeno. Ahora podemos decir que $${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

dónde${\displaystyle U=-eV}$es la energía potencial del electrón en el campo central, y e es la carga elemental . Ahora recordamos de la mecánica clásica que el momento angular de una partícula${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$Al juntarlo todo, obtenemos $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

En este punto, B es un número positivo multiplicado por L , lo que significa que el campo magnético es paralelo al momento angular orbital de la partícula, que a su vez es perpendicular a la velocidad de la partícula.

El momento magnético de espín del electrón es $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {S} }$es el vector de espín (o momento angular intrínseco),${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$es el magnetón de Bohr y${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$es el factor g del espín electrónico . Aquí${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$es una constante negativa multiplicada por el espín , por lo que el momento magnético de espín es antiparalelo al espín.

El potencial de acoplamiento espín-órbita consta de dos partes. La parte de Larmor está relacionada con la interacción del momento magnético de espín del electrón con el campo magnético del núcleo en el sistema de referencia comóvil del electrón. La segunda contribución está relacionada con la precesión de Thomas .

La energía de interacción de Larmor es $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Sustituyendo en esta ecuación las expresiones para el momento magnético de espín y el campo magnético, se obtiene $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Ahora debemos tener en cuenta la corrección de precesión de Thomas para la trayectoria curva del electrón.

En 1926, Llewellyn Thomas recalculó relativistamente la separación de dobletes en la estructura fina del átomo. ^{[ 2 ]} Tasa de precesión de Thomas${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$está relacionado con la frecuencia angular del movimiento orbital${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$de una partícula giratoria de la siguiente manera: ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz de la partícula en movimiento. El hamiltoniano que produce la precesión del espín${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$es dado por $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

Al primer orden en${\displaystyle (v/c)^{2}}$, obtenemos $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

El potencial total de espín-órbita en un potencial electrostático externo toma la forma $${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$ El efecto neto de la precesión de Thomas es la reducción de la energía de interacción de Larmor en un factor de aproximadamente 1/2, que llegó a conocerse como la mitad de Thomas .

Gracias a todas las aproximaciones anteriores, ahora podemos evaluar el desplazamiento de energía detallado en este modelo. Nótese que L _z y S _z ya no son cantidades conservadas. En particular, deseamos encontrar una nueva base que diagonalice tanto H ₀ (el hamiltoniano no perturbado) como Δ H . ​​Para determinar cuál es esta base, primero definimos el operador de momento angular total.$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Tomando el producto escalar de esto consigo mismo, obtenemos $${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$ (ya que L y S conmutan), y por lo tanto $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

Se puede demostrar que los cinco operadores H ₀ , J ² , L ² , S ² , y J _z conmutan entre sí y con Δ H . ​​Por lo tanto, la base que buscábamos es la base de autovalores simultáneos de estos cinco operadores (es decir, la base donde los cinco son diagonales). Los elementos de esta base tienen los cinco números cuánticos :${\displaystyle n}$(el "número cuántico principal"),${\displaystyle j}$(el "número cuántico de momento angular total"),${\displaystyle \ell }$(el "número cuántico de momento angular orbital"),${\displaystyle s}$(el "número cuántico de espín"), y${\displaystyle j_{z}}$(el " componente z del momento angular total").

Para evaluar las energías, observamos que $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$ para funciones de onda hidrogenoides (aquí${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$es el radio de Bohr dividido por la carga nuclear Z ); y $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

Ahora podemos decir que $${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$ donde la constante de acoplamiento espín-órbita es $${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

Para obtener el resultado relativista exacto, consulte las soluciones de la ecuación de Dirac para un átomo similar al hidrógeno .

La derivación anterior calcula la energía de interacción en el sistema de referencia en reposo (inmediato) del electrón y en este sistema de referencia hay un campo magnético que está ausente en el sistema de referencia en reposo del núcleo.

Otro enfoque consiste en calcularlo en el sistema de referencia del núcleo, véase, por ejemplo, George P. Fisher: Electric Dipole Moment of a Moving Magnetic Dipole (1971). ^{[ 5 ]} Sin embargo, a veces se evita el cálculo en el sistema de referencia, porque hay que tener en cuenta el momento oculto . ^{[ 6 ]}

Las bandas de huecos de un semiconductor de blenda de zinc a granel (3D) se dividirán por${\displaystyle \Delta _{0}}$en agujeros pesados ​​y ligeros (que forman un${\displaystyle \Gamma _{8}}$cuatrillizos en el${\displaystyle \Gamma }$-punto de la zona de Brillouin) y una banda separada (${\displaystyle \Gamma _{7}}$doblete). Incluyendo dos bandas de conducción (${\displaystyle \Gamma _{6}}$jubón en el${\displaystyle \Gamma }$-punto), el sistema se describe mediante el modelo efectivo de ocho bandas de Kohn y Luttinger . Si solo interesa la parte superior de la banda de valencia (por ejemplo, cuando${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$, nivel de Fermi medido desde la parte superior de la banda de valencia), el modelo efectivo de cuatro bandas adecuado es $${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$ dónde${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$son los parámetros de Luttinger (análogos a la masa efectiva única de un modelo de electrones de una sola banda) y${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$son matrices de momento angular 3/2 (${\displaystyle m}$es la masa del electrón libre). En combinación con la magnetización, este tipo de interacción espín-órbita distorsionará las bandas electrónicas dependiendo de la dirección de la magnetización, causando así anisotropía magnetocristalina (un tipo especial de anisotropía magnética ). Si el semiconductor además carece de simetría de inversión, las bandas de huecos exhibirán un desdoblamiento cúbico de Dresselhaus. Dentro de las cuatro bandas (huecos ligeros y pesados), el término dominante es $${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

donde el parámetro del material${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$para GaAs (ver págs.  72 en el libro de Winkler, según datos más recientes la constante de Dresselhaus en GaAs es 9 eVÅ ³ ; ^{[ 15 ]} el hamiltoniano total será${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$). El gas de electrones bidimensional en un pozo cuántico asimétrico (o heteroestructura) experimentará la interacción de Rashba. El hamiltoniano efectivo de dos bandas apropiado es $${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$ dónde${\displaystyle \sigma _{0}}$es la matriz identidad de 2 × 2,${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$las matrices de Pauli y${\displaystyle m^{*}}$la masa efectiva del electrón. La parte espín-órbita del hamiltoniano,${\displaystyle H_{\text{R}}}$está parametrizado por${\displaystyle \alpha }$, a veces llamado parámetro de Rashba (su definición varía un poco), que está relacionado con la asimetría de la estructura.

Las expresiones anteriores para las matrices de espín de acoplamiento de interacción espín-órbita${\displaystyle \mathbf {J} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$al cuasi impulso${\displaystyle \mathbf {k} }$y al potencial vectorial${\displaystyle \mathbf {A} }$de un campo eléctrico alterno mediante la sustitución de Peierls${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$Son términos de orden inferior de la teoría de perturbación k·p de Luttinger-Kohn en potencias de${\displaystyle k}$Los siguientes términos de esta expansión también producen términos que acoplan operadores de espín de la coordenada electrónica.${\displaystyle \mathbf {r} }$. En efecto, un producto cruzado${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$es invariante con respecto a la inversión temporal. En cristales cúbicos, tiene una simetría de vector y adquiere un significado de contribución espín-órbita.${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$al operador de coordenadas. Para electrones en semiconductores con una brecha estrecha${\displaystyle E_{\rm {G}}}$Entre las bandas de conducción y de huecos pesados, Yafet derivó la ecuación ^{[ 16 ] [ 17 ].}$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$ dónde${\displaystyle m_{0}}$es una masa de electrón libre, y${\displaystyle g}$es un${\displaystyle g}$El factor -factor se renormaliza adecuadamente para la interacción espín-órbita. Este operador acopla el espín electrónico.${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$directamente al campo eléctrico${\displaystyle \mathbf {E} }$a través de la energía de interacción${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$.

La resonancia de espín de dipolo eléctrico (EDSR) es el acoplamiento del espín del electrón con un campo eléctrico oscilante. De forma similar a la resonancia de espín electrónico (ESR), en la que los electrones pueden excitarse con una onda electromagnética cuya energía es determinada por el efecto Zeeman , en la EDSR la resonancia se logra si la frecuencia está relacionada con el desdoblamiento de la banda de energía dado por el acoplamiento espín-órbita en sólidos. Mientras que en la ESR el acoplamiento se obtiene a través de la parte magnética de la onda electromagnética con el momento magnético del electrón, la ESDR es el acoplamiento de la parte eléctrica con el espín y el movimiento de los electrones. Este mecanismo se ha propuesto para controlar el espín de los electrones en puntos cuánticos y otros sistemas mesoscópicos . ^{[ 18 ]}