rigidez de giro

La rigidez de espín es una constante que representa el cambio en la energía del estado fundamental de un sistema de espines como resultado de introducir una torsión lenta en el plano de los espines. La importancia de esta constante radica en su uso como indicador de transiciones de fase cuánticas , específicamente en modelos con transiciones metal-aislante, como los aislantes de Mott . También está relacionada con otros invariantes topológicos, como la fase de Berry y los números de Chern, como en el efecto Hall cuántico .

Matemáticamente se puede definir mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle \rho _{s}={\cfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}{\cfrac {E_{0}(\theta )}{N}}|_{\theta =0}}$

dónde${\displaystyle E_{0}}$es la energía del estado fundamental,${\displaystyle \theta }$es el ángulo de torsión y N es el número de sitios de la red.

Comencemos con el hamiltoniano de espín de Heisenberg simple:

${\displaystyle H_{\mathrm {Heisenberg} }=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})\right]}$

Ahora introducimos una rotación en el sistema en el punto i por un ángulo θ _i alrededor del eje z:

${\displaystyle S_{i}^{+}\longrightarrow S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}}$

${\displaystyle S_{i}^{-}\longrightarrow S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}}$

Sustituyendo estos valores en el hamiltoniano de Heisenberg:

${\displaystyle H(\theta _{ij})=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}S_{j}^{-}e^{-i\theta _{j}}+S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}S_{j}^{+}e^{i\theta _{j}})\right]}$

Ahora, sea θ _ij = θ _i - θ _j y desarrollemos alrededor de θ _ij = 0 mediante un desarrollo de Maclaurin, conservando únicamente los términos hasta segundo orden en θ _ij.

${\displaystyle H\approx H_{\mathrm {Heisenberg} }-J\sum _{<ij>}\left[\theta _{ij}J_{ij}^{(s)}-{\cfrac {1}{2}}\theta _{ij}^{2}T_{ij}^{(s)}\right]}$

donde el primer término es independiente de θ y el segundo término es una perturbación para valores pequeños de θ.

${\displaystyle J_{ij}^{s}={\cfrac {i}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}-S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$es la componente z del operador de corriente de espín

${\displaystyle T_{ij}={\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$ es la " energía cinética de espín "

Consideremos ahora el caso de torsiones idénticas, θ _x solamente, que existen a lo largo de los enlaces vecinos más cercanos a lo largo del eje x. Entonces, dado que la rigidez de espín está relacionada con la diferencia en la energía del estado fundamental por

${\displaystyle E(\theta )-E(0)=N\rho _{s}\theta _{x}^{2}}$

Entonces, para valores pequeños de θ _x y con la ayuda de la teoría de perturbaciones de segundo orden, obtenemos:

${\displaystyle \rho _{s}={\cfrac {1}{N}}\left[{\cfrac {1}{2}}\langle T_{x}\rangle +\sum _{\nu \neq 0}{\cfrac {|\langle 0|j_{x}^{(s)}|\nu \rangle |^{2}}{E_{\nu }-E_{0}}}\right]}$

• Onda giratoria

• SE Krüger; R. Darradi; J. Richter; DJJ Farnell (2006). "Cálculo directo de la rigidez de espín del antiferromagneto de Heisenberg de espín (1/2) en redes cuadradas, triangulares y cúbicas utilizando el método de clúster acoplado". Physical Review B . 73 (9) 094404. arXiv : cond-mat/0601691 . Bibcode : 2006PhRvB..73i4404K . doi : 10.1103/PhysRevB.73.094404 .
• J. Bonča; JP Rodriguez; J. Ferrer; KS Bedell (1994). "Cálculo directo de la rigidez de espín para modelos de Heisenberg de espín 1/2". Physical Review B . 50 (5): 3415– 3418. arXiv : cond-mat/9405069 . Bibcode : 1994PhRvB..50.3415B . doi : 10.1103/PhysRevB.50.3415 . PMID 9976600 . S2CID 32495059 .  
• T. Einarsson; HJ Schulz (1994). "Cálculo directo de la rigidez de espín en el antiferromagneto de Heisenberg J ₁ −J _{2 ".} Physical Review B . 51 (9): 6151– 6154. arXiv : cond-mat/9410090v1 . Bibcode : 1995PhRvB..51.6151E . doi : 10.1103/PhysRevB.51.6151 . PMID 9979543 ​​. S2CID 22218061 .  
• BS Shastry; B. Sutherland (1990). "Condiciones de contorno retorcidas y masa efectiva en anillos de Heisenberg-Ising y Hubbard". Physical Review Letters . 65 (2): 243– 246. Bibcode : 1990PhRvL..65..243S . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.243 . PMID 10042589 . 
• RRP Singh; DA Huse (1989). "Cálculo microscópico de la constante de rigidez de espín para el antiferromagneto de Heisenberg de red cuadrada con espín (1/2)". Physical Review B . 40 (10): 7247– 7251. Bibcode : 1989PhRvB..40.7247S . doi : 10.1103/PhysRevB.40.7247 . PMID 9991112 . 
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