Análisis del lugar de las raíces

En teoría de control y teoría de estabilidad , el análisis del lugar de las raíces es un método gráfico para examinar cómo cambian las raíces de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) con la variación de un parámetro del sistema , comúnmente una ganancia en un sistema de retroalimentación . Esta técnica, desarrollada por Walter R. Evans, se utiliza como criterio de estabilidad en el campo de la teoría de control clásica y permite determinar la estabilidad del sistema. El lugar de las raíces representa los polos de la función de transferencia de lazo cerrado en el plano complejo s en función de un parámetro de ganancia (véase diagrama de polos y ceros ).

Evans también inventó en 1948 una computadora analógica para calcular lugares geométricos de raíces, llamada "espirula" (por "espiral" y " regla de cálculo "); tuvo un amplio uso antes de la llegada de las computadoras digitales . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Si un poste se encuentra en una ubicación${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$, entonces el sistema contiene un modo${\displaystyle y_{mode}(t)\propto e^{\sigma t}\cos {(\omega t+\phi )}}$con una tasa de crecimiento σ y un desfase φ a la frecuencia de oscilación ω . Todos los modos deben tener tasas de crecimiento negativas para que el sistema sea asintóticamente estable . Esta condición de estabilidad se suele expresar como que todos los polos deben estar en el plano de la mano izquierda, es decir${\displaystyle \sigma <0}$Para los modos estables, la tasa de decaimiento (positiva) es entonces -σ . Cuando pares complejos individuales de polos se encuentran en el eje imaginario${\displaystyle \sigma =0}$(excluyendo el origen), se considera que el sistema es marginalmente estable.

Además de determinar la estabilidad del sistema, el lugar de las raíces se puede utilizar para diseñar el coeficiente de amortiguamiento ( ζ ) y _la frecuencia natural ( ωn ) de un sistema de retroalimentación. Se pueden trazar líneas de coeficiente de amortiguamiento constante radialmente desde el origen (con ángulo${\displaystyle \cos ^{-1}(\zeta)}$Desde el eje real negativo), y las líneas de frecuencia natural constante se pueden trazar como círculos centrados en el origen con radio ω _n . Al seleccionar un punto a lo largo del lugar de las raíces que coincida con una relación de amortiguamiento y una frecuencia natural deseadas, se puede calcular una ganancia K e implementarla en el controlador. En la mayoría de los libros de texto de control se encuentran disponibles técnicas más elaboradas de diseño de controladores que utilizan el lugar de las raíces: por ejemplo, los controladores de adelanto, retardo , PI, PD y PID se pueden diseñar aproximadamente con esta técnica.

La definición del coeficiente de amortiguación y la frecuencia natural en el párrafo anterior presupone que el sistema de retroalimentación global es estable y se aproxima bien mediante un sistema de segundo orden. Esto ocurre cuando el sistema satisface la aproximación de "polos dominantes". Un par complejo de polos domina cuando todos los demás polos se encuentran suficientemente más a la izquierda, por ejemplo${\displaystyle |\sigma |>5|\sigma _{dom}|}$De forma equivalente, los polos dominantes son aquellos con la menor tasa de decaimiento.${\displaystyle -\sigma _{dom}}$. Un único polo en el eje real también podría dominar, en cuyo caso el sistema puede aproximarse como un sistema de primer orden. Nótese que el factor de 5 es una heurística común más que una regla, derivada de${\displaystyle e^{-5}<1\%}$Además, la proximidad de ceros puede atenuar el efecto de los polos. Por lo tanto, todos los controladores diseñados con esta aproximación deben simularse con la función de transferencia completa para verificar que se cumplen los objetivos de diseño.

El lugar de las raíces de un sistema de retroalimentación LTI es la representación gráfica en el plano s complejo de las posibles ubicaciones de sus polos de lazo cerrado para diferentes valores de un determinado parámetro del sistema. Los puntos que forman parte del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo. El valor del parámetro para un punto determinado del lugar de las raíces se puede obtener utilizando la condición de magnitud .

Supongamos que hay un sistema de retroalimentación LTI con señal de entrada${\displaystyle X(s)}$y señal de salida${\displaystyle Y(s)}$La función de transferencia de la trayectoria directa es${\displaystyle G(s)}$; la función de transferencia de la ruta de retroalimentación es${\displaystyle H(s)}$.

Para este sistema, la función de transferencia de lazo cerrado viene dada por ^{[ 10 ].}

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Por lo tanto, los polos de lazo cerrado de la función de transferencia de lazo cerrado son las raíces del polinomio característico.${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$Las raíces de este polinomio se pueden encontrar dondequiera que se encuentre la ecuación.${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$sostiene.

En sistemas sin retardo puro, el producto${\displaystyle G(s)H(s)}$es una función polinómica racional y puede expresarse como ^{[ 11 ].}

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

dónde${\displaystyle -z_{i}}$son los${\displaystyle m}$ceros ,${\displaystyle -p_{i}}$son los${\displaystyle n}$postes y${\displaystyle K}$es una ganancia escalar. Normalmente, un diagrama de lugar de las raíces indicará la ubicación de los polos de la función de transferencia para diferentes valores del parámetro.${\displaystyle K}$. Un diagrama de lugar de las raíces serán todos aquellos puntos en el plano s donde${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$para cualquier valor de${\displaystyle K}$.

El factoring de${\displaystyle K}$y el uso de monomios simples significa que la evaluación del polinomio racional se puede realizar con técnicas vectoriales que suman o restan ángulos y multiplican o dividen magnitudes. La formulación vectorial surge del hecho de que cada término monomio${\displaystyle (sa)}$en el factorizado${\displaystyle G(s)H(s)}$representa el vector desde${\displaystyle a}$a${\displaystyle s}$en el plano s. El polinomio se puede evaluar considerando las magnitudes y los ángulos de cada uno de estos vectores.

Según las matemáticas vectoriales, el ángulo resultante de un polinomio racional es la suma de los ángulos del numerador menos la suma de los ángulos del denominador. Por lo tanto, para comprobar si un punto en el plano s se encuentra en el lugar de las raíces, solo es necesario considerar los ángulos con respecto a los polos y ceros de la malla abierta. Esto se conoce como la condición angular.

De manera similar, la magnitud del resultado del polinomio racional es el producto de todas las magnitudes del numerador dividido por el producto de todas las magnitudes del denominador. Resulta que el cálculo de la magnitud no es necesario para determinar si un punto en el plano s es parte del lugar de las raíces porque${\displaystyle K}$varía y puede tomar un valor real arbitrario. Para cada punto del lugar de las raíces, un valor de${\displaystyle K}$se puede calcular. Esto se conoce como la condición de magnitud.

El lugar de las raíces solo proporciona la ubicación de los polos de lazo cerrado como la ganancia.${\displaystyle K}$es variado. El valor de${\displaystyle K}$no afecta la ubicación de los ceros. Los ceros en lazo abierto son los mismos que los ceros en lazo cerrado.

Utilizando unas pocas reglas básicas, el método del lugar de las raíces puede trazar la forma general del camino (lugar) recorrido por las raíces como el valor de${\displaystyle K}$varía. El gráfico del lugar de las raíces da entonces una idea de la estabilidad y la dinámica de este sistema de retroalimentación para diferentes valores de${\displaystyle K}$. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Las reglas son las siguientes:

• Marcar los polos y ceros del lazo abierto.
• Marca la porción del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros.
• Hallar asíntotas

Sea P el número de polos y Z el número de ceros:

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

Las asíntotas intersecan el eje real en${\displaystyle \alpha }$(que se llama centroide) y parten en ángulo${\displaystyle \phi }$dado por:

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}$

dónde${\displaystyle \sum _{P}}$es la suma de todas las ubicaciones de los polos,${\displaystyle \sum _{Z}}$es la suma de todas las ubicaciones de los ceros explícitos y${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$indica que solo nos interesa la parte real.

• Condición de fase en el punto de prueba para encontrar el ángulo de salida
• Calcular los puntos de ruptura/intrusión

Los puntos de ruptura se encuentran en las raíces de la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

Una vez que se resuelve para z , las raíces reales proporcionan los puntos de ruptura/reentrada. Las raíces complejas corresponden a la ausencia de ruptura/reentrada.

Dado el denominador general de polinomio racional de bucle cerrado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

La ecuación característica se puede simplificar a

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

Las soluciones de${\displaystyle s}$A esta ecuación se le añaden los lugares geométricos de las raíces de la función de transferencia de lazo cerrado.

Ejemplo

Dado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

Tendremos la ecuación característica

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

El siguiente código MATLAB trazará el lugar de las raíces de la función de transferencia de lazo cerrado como${\displaystyle K}$Varía según el método manual descrito, así como la rlocusfunción integrada:

% Método manual K_array = ( 0 : 0.1 : 220 ). ' ; % .' es una transposición. Consultando la documentación de Matlab. NK = length ( K_array ); x_array = zeros ( NK , 3 ); y_array = zeros ( NK , 3 );para nK = 1 : NK K = K_array ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = roots ( C ). ' ; x_array ( nK ,:) = real ( r ); y_array ( nK ,:) = imag ( r ); finfigura (); trazar ( matriz_x , matriz_y ); cuadrícula en ;% Método integrado sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figure (); rlocus ( sys );

El siguiente código Python también se puede utilizar para calcular y graficar el lugar de las raíces de la función de transferencia de lazo cerrado utilizando la biblioteca Python Control Systems Library ^{[ 14 ]} y Matplotlib ^{[ 15 ]} .

control de importación como ctimport matplotlib.pyplot as plt# Definir la función de transferenciasys = ct.TransferFunction ( [ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ] )# Calcular y graficar el lugar de las raícesraíces , ganancias = ct.root_locus ( sys , plot = True )​​plt.show ( )​

El método del lugar de las raíces también se puede utilizar para el análisis de sistemas de datos muestreados calculando el lugar de las raíces en el plano z , la contraparte discreta del plano s . La ecuación z  = e ^sT  mapea los polos continuos del plano s (no los ceros) en el dominio z , donde T es el período de muestreo. El semiplano izquierdo estable del plano s se mapea en el interior del círculo unitario del plano z , con el origen del plano s igual a |z|  =  1 (porque e ⁰ = 1). Una línea diagonal de amortiguación constante en el plano s se mapea alrededor de una espiral desde (1,0) en el plano z a medida que se curva hacia el origen. El criterio de aliasing de Nyquist se expresa gráficamente en el plano z por el eje x , donde ωnT = π . La línea de amortiguación constante que acabamos de describir espirales indefinidamente, pero en sistemas de datos muestreados, el contenido de frecuencia se aliasea a frecuencias más bajas por múltiplos enteros de la frecuencia de Nyquist . Es decir, la respuesta muestreada aparece con una frecuencia más baja y una mejor amortiguación, ya que la raíz en el plano z se corresponde igualmente bien con el primer bucle de una curva espiral diferente, mejor amortiguada y de amortiguación constante. Se pueden describir muchas otras propiedades de mapeo interesantes y relevantes, entre las que destaca que los controladores del plano z , al poder implementarse directamente a partir de la función de transferencia del plano z (relación cero/polo de los polinomios), pueden representarse gráficamente en un diagrama del plano z de la función de transferencia de lazo abierto y analizarse inmediatamente mediante el lugar de las raíces.     

Dado que el lugar de las raíces es una técnica gráfica de ángulos, las reglas del lugar de las raíces funcionan de la misma manera en los planos z y s .

El concepto de lugar de las raíces puede aplicarse a muchos sistemas donde se varía un único parámetro K. Por ejemplo, resulta útil variar cualquier parámetro del sistema cuyo valor exacto sea incierto para determinar su comportamiento.

• Margen de fase
• criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• criterio de estabilidad de Nyquist
• Margen de ganancia y fase
• Diagrama de Bode

• Kuo, Benjamin C. (1967). "Técnica del lugar de las raíces". Sistemas de control automático (segunda  edición). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. págs. 329–388 . ASIN B000KPT04C . LCCN 67016388. OCLC 3805225 .    

• Ash, RH; Ash, GH (octubre de 1968), "Cálculo numérico de lugares geométricos de raíces mediante la técnica de Newton-Raphson", IEEE Transactions on Automatic Control , 13 (5): 576–582 , doi : 10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, SE (mayo de 1968), "Datos de diseño para ayudar en la representación gráfica de los lugares geométricos de las raíces (Parte I)", Control Magazine , 12 ( 119): 404–407
• Williamson, SE (junio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar lugares geométricos de raíces (Parte II)", Control Magazine , 12 ( 120): 556–559
• Williamson, SE (julio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar lugares geométricos de raíces (Parte III)", Control Magazine , 12 ( 121): 645–647
• Williamson, SE (15 de mayo de 1969), "Programa informático para obtener la respuesta temporal de sistemas de datos muestreados", Electronics Letters , 5 (10): 209–210 , Bibcode : 1969ElL.....5..209W , doi : 10.1049/el:19690159
• Williamson, SE (julio de 1969), "Trazado preciso del lugar de las raíces, incluyendo los efectos del retardo de tiempo puro. Descripción del programa informático" , Actas de la Institución de Ingenieros Eléctricos , 116 (7): 1269–1271 , doi : 10.1049/piee.1969.0235 , archivado del original el 29 de junio de 2019.

• Wikilibros: Sistemas de control/Locus de las raíces
• Tutorial de Carnegie Mellon / Universidad de Michigan
• Excelentes ejemplos. Empiece con el ejemplo 5 y continúe en orden inverso, del 4 al 1. Visite también la página principal.
• El método del lugar de las raíces: Técnicas de dibujo a mano
• "RootLocs": Un trazador de lugares radiculares gratuito y multifuncional para plataformas Mac y Windows.
• "Root Locus": Un analizador/trazador de lugares radiculares gratuito para Windows.
• Lugar de las raíces en ControlTheoryPro.com
• Análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control
• Función de MATLAB para calcular el lugar de las raíces de un modelo de lazo abierto SISO.
• Wechsler, ER (enero-marzo de 1983), "Algoritmos de lugar de las raíces para calculadoras de bolsillo programables" (PDF) , Informe de progreso de telecomunicaciones y adquisición de datos , 73 , NASA: 60-64 , Bibcode : 1983TDAPR..73...60W
• Función de Mathematica para trazar el lugar de las raíces