La fórmula de Spitzer

En teoría de la probabilidad , la fórmula de Spitzer o identidad de Spitzer proporciona la distribución conjunta de sumas parciales y sumas parciales máximas de un conjunto de variables aleatorias. El resultado fue publicado por primera vez por Frank Spitzer en 1956. ^{[ 1 ]} La fórmula se considera un hito en la teoría de sumas de variables aleatorias independientes. ^{[ 2 ]}

Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y definamos las sumas parciales . Definamos . Entonces ^{[ 3 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$${\displaystyle R_{n}={\text{max}}(0,S_{1},S_{2},...S_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\phi _{n}(\alpha ,\beta )t^{n}=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\left(u_{n}(\alpha )+v_{n}(\beta )-1\right)\right]}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(\alpha ,\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i(\alpha R_{n}+\beta (R_{n}-S_{n})\right])\\u_{n}(\alpha )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\alpha S_{n}^{+}\right])\\v_{n}(\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\beta S_{n}^{-}\right])\end{aligned}}}$

y S ^± denota (| S | ±  S )/2.

La fórmula fue demostrada por primera vez por Spitzer. ^{[ 1 ]} Posteriormente, Wendel dio una demostración breve. ^{[ 3 ]} La fórmula puede entenderse en términos de un álgebra de Rota-Baxter .