Lema de división

Primero, para demostrar que 3. implica tanto 1. como 2., asumimos 3. y tomamos como t la proyección natural de la suma directa sobre A , y tomamos como u la inyección natural de C en la suma directa.

Para demostrar que 1. implica 3., primero observemos que cualquier miembro de B está en el conjunto ( ker t + im q ). Esto se deduce de que para todo b en B , b = ( b − qt ( b )) + qt ( b ) ; qt ( b ) está en im q , y b − qt ( b ) está en ker t , ya que

t ( b − qt ( b )) = t ( b ) − tqt ( b ) = t ( b ) − ( tq ) t ( b ) = t ( b ) − t ( b ) = 0.

A continuación, la intersección de im q y ker t es 0, ya que si existe a en A tal que q ( a ) = b , y t ( b ) = 0 , entonces 0 = tq ( a ) = a ; y por lo tanto, b = 0 .

Esto prueba que B es la suma directa de im q y ker t . Por lo tanto, para todo b en B , b puede ser identificado de forma única por algún a en A , k en ker t , tal que b = q ( a ) + k .

Por exactitud, ker r = im q . La subsecuencia B ⟶ C ⟶ 0 implica que r es sobreyectivo ; por lo tanto, para cualquier c en C existe algún b = q ( a ) + k tal que c = r ( b ) = r ( q ( a ) + k ) = r ( k ) . Por lo tanto, para cualquier c en C , existe k en ker t tal que c = r ( k ), y r (ker t ) = C.

Si r ( k ) = 0 , entonces k está en im q ; dado que la intersección de im q y ker t = 0 , entonces k = 0 . Por lo tanto, la restricción r : ker t → C es un isomorfismo; y ker t es isomorfo a C .

Finalmente, im q es isomorfo a A debido a la exactitud de 0 ⟶ A ⟶ B ; por lo tanto, B es isomorfo a la suma directa de A y C , lo que prueba (3).

Para demostrar que 2. implica 3., seguimos un argumento similar. Cualquier miembro de B está en el conjunto ker r + im u ; puesto que para todo b en B , b = ( b − ur ( b )) + ur ( b ) , que está en ker r + im u . La intersección de ker r e im u es 0 , puesto que si r ( b ) = 0 y u ( c ) = b , entonces 0 = ru ( c ) = c .

Por exactitud, im q = ker r , y como q es una inyección , im q es isomorfo a A , por lo que A es isomorfo a ker r . Como ru es una biyección , u es una inyección, y por lo tanto im u es isomorfo a C. Así que B es de nuevo la suma directa de A y C.

Una demostración alternativa, " absurda y sin sentido ", del lema de división puede formularse enteramente en términos de teoría de categorías .

Es parcialmente cierto: si una sucesión exacta corta de grupos es escindida por la izquierda o una suma directa (1. o 3.), entonces se cumplen todas las condiciones. Para una suma directa, esto es claro, ya que se puede inyectar desde o proyectar hacia los sumandos. Para una sucesión escindida por la izquierda, la aplicación t × r : B → A × C da un isomorfismo, por lo que B es una suma directa (3.), y por lo tanto, invirtiendo el isomorfismo y componiendo con la inyección natural C → A × C se obtiene una inyección C → B que escinde r (2.).

Sin embargo, si una secuencia corta exacta de grupos se divide por la derecha (2.), entonces no tiene por qué dividirse por la izquierda ni ser una suma directa (ni 1. ni 3. se deducen): el problema es que la imagen de la división por la derecha no tiene por qué ser normal . Lo que sí es cierto en este caso es que B es un producto semidirecto , aunque no en general un producto directo .

Para formar un contraejemplo, tomemos el grupo no abeliano más pequeño B ≅ S ₃ , el grupo simétrico sobre tres letras. Sea A el subgrupo alternante , y sea C = B / A ≅ {±1 }. Sean q y r la aplicación de inclusión y la aplicación de signo respectivamente, de modo que

$${\displaystyle 0\longrightarrow A\mathrel {\stackrel {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\stackrel {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0}$$

es una secuencia exacta corta. 3. falla, porque S ₃ no es abeliano, pero 2. se cumple: podemos definir u : C → B mapeando el generador a cualquier ciclo de dos elementos . Nótese para completitud que 1. falla: cualquier mapeo t : B → A debe mapear cada ciclo de dos elementos a la identidad porque el mapeo tiene que ser un homomorfismo de grupo , mientras que el orden de un ciclo de dos elementos es 2 que no puede ser dividido por el orden de los elementos en A aparte del elemento identidad, que es 3 ya que A es el subgrupo alternante de S ₃ , o es decir, el grupo cíclico de orden 3. Pero toda permutación es un producto de ciclos de dos elementos, por lo que t es el mapeo trivial, de donde tq : A → A es el mapeo trivial, no la identidad.