Álgebra de Lie dividida

En el campo matemático de la teoría de Lie , un álgebra de Lie dividida es un par${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie y${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$es una subálgebra de Cartan de descomposición , donde "descomposición" significa que para todo${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$,${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$es triangularizable . Si un álgebra de Lie admite una descomposición, se llama álgebra de Lie divisible . ^{[ 1 ]} Nótese que para las álgebras de Lie reductivas, se requiere que la subálgebra de Cartan contenga el centro.

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado como los números complejos , todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles (de hecho, la subálgebra de Cartan no solo actúa sobre matrices triangularizables, sino que, aún más fuerte, actúa sobre matrices diagonalizables) y todas las divisiones son conjugadas; por lo tanto, las álgebras de Lie divididas son de mayor interés para cuerpos no algebraicamente cerrados.

Las álgebras de Lie divididas son de interés tanto porque formalizan la forma real dividida de un álgebra de Lie compleja, como porque las álgebras de Lie semisimples divididas (o, más generalmente, las álgebras de Lie reductivas divididas) sobre cualquier cuerpo comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados; por ejemplo, poseen esencialmente la misma teoría de representación, y la subálgebra de Cartan dividida desempeña el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en ( Bourbaki 2005 ) , por ejemplo.

• Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas en general; sin embargo, en un álgebra de Lie semisimple divisible, todas las álgebras de Cartan que la dividen son conjugadas.
• Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.
• Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, existen álgebras de Lie semisimples no divisibles. ^{[ 2 ]}
• En un álgebra de Lie divisible, pueden existir subálgebras de Cartan que no sean divisibles. ^{[ 3 ]}
• Las sumas directas de álgebras de Lie divisibles y los ideales en álgebras de Lie divisibles son divisibles.

Las formas reales divididas para las álgebras de Lie semisimples complejas son: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• Álgebras de Lie excepcionales:${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}}$tienen formas reales separadas E I, E V, E VIII, F I, G .

Estas son las álgebras de Lie de los grupos reales escindidos de los grupos de Lie complejos.

Tenga en cuenta que para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$, la forma real son los puntos reales del (álgebra de Lie del) mismo grupo algebraico , mientras que para${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}}$Hay que utilizar las formas escindidas (de índice máximamente indefinido), ya que el grupo SO es compacto.

• Álgebra de Lie compacta
• Forma real
• Número complejo dividido
• Grupo ortogonal dividido