Coecualizador

En teoría de categorías , un coecualizador (o coecualizador ) es una generalización del cociente de un conjunto mediante una relación de equivalencia con objetos de una categoría arbitraria . Es la construcción categórica dual al ecualizador .

Un coecualizador es el colímite de un diagrama que consta de dos objetos X e Y y dos morfismos paralelos f , g  : X → Y .

Más explícitamente, un coecualizador de los morfismos paralelos f y g puede definirse como un objeto Q junto con un morfismo q  : Y → Q tal que q ∘ f = q ∘ g . Además, el par ( Q , q ) debe ser universal en el sentido de que, dado cualquier otro par de este tipo ( Q ′ , q ′ ), existe un único morfismo u  : Q → Q ′ tal que u ∘ q = q ′ . Esta información puede representarse mediante el siguiente diagrama conmutativo :

Como ocurre con todas las construcciones universales , un coecualizador, si existe, es único salvo un único isomorfismo (por eso, por abuso del lenguaje, a veces se habla del "coecualizador" de dos flechas paralelas).

Se puede demostrar que una flecha de coequalización q es un epimorfismo en cualquier categoría.

• En la categoría de conjuntos , el coecualizador de dos funciones f , g  : X → Y es el cociente de Y por la relación de equivalencia más pequeña ~ tal que para todo x ∈ X , tenemos f ( x ) ~ g ( x ) . ^{[ 1 ]} En particular, si R es una relación de equivalencia en un conjunto Y , y r₁ , r₂ son las _proyecciones naturales ( R ⊂ Y × Y ) → Y, _entonces el coecualizador de r₁ y r₂ es el conjunto cociente Y / _R . (Véase también: cociente por una relación de equivalencia ₎ .
• El coecualizador en la categoría de grupos es muy similar. Aquí, si f , g  : X → Y son homomorfismos de grupo , su coecualizador es el cociente de Y por la clausura normal del conjunto.

  ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\mid x\in X\}}$

• Para los grupos abelianos, el coecualizador es particularmente simple. Es simplemente el grupo cociente Y / im( f – g ) . (Este es el conúcleo del morfismo f – g ; véase la siguiente sección).
• En la categoría de espacios topológicos , el objeto circular S ¹ puede verse como el coecualizador de los dos mapas de inclusión del 0-símplex estándar al 1-símplex estándar.
• Los coecualizadores pueden ser grandes: existen exactamente dos functores de la categoría 1 con un objeto y una flecha identidad, a la categoría 2 con dos objetos y una flecha no identidad que va entre ellos. El coecualizador de estos dos functores es el monoide de los números naturales bajo la suma, considerado como una categoría de un solo objeto. En particular, esto muestra que si bien toda flecha coecualizadora es épica , no es necesariamente sobreyectiva .

• Todo coecualizador es un epimorfismo.
• En un topos , cada epimorfismo es el coecualizador de su par de núcleos.

En categorías con morfismos cero , se puede definir un cokernel de un morfismo f como el coecualizador de f y el morfismo cero paralelo.

En las categorías preaditivas tiene sentido sumar y restar morfismos (los conjuntos de hom forman en realidad grupos abelianos ). En tales categorías, se puede definir el coecualizador de dos morfismos f y g como el conúcleo de su diferencia:

coeq( f , g ) = coker( g – f ).

Una noción más fuerte es la de coecualizador absoluto , que es un coecualizador que se conserva bajo todos los functores. Formalmente, un coecualizador absoluto de un par de flechas paralelas f , g  : X → Y en una categoría C es un coecualizador como se definió anteriormente, pero con la propiedad añadida de que, dado cualquier functor F :  C → D , F ( Q ) junto con F ( q ) es el coecualizador de F ( f ) y F ( g ) en la categoría D. Los coecualizadores divididos son ejemplos de coecualizadores absolutos.

• Coproducto
• Empujar

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  5 (2.ª  ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 
  • Coecualizadores – página 65
  • Coecualizadores absolutos – página 149

• Página web interactiva que genera ejemplos de coecualizadores en la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine .