Forma real (Teoría de la mentira)

En matemáticas , la noción de forma real relaciona objetos definidos sobre el campo de los números reales y complejos . Un álgebra de Lie real g ₀ se denomina forma real de un álgebra de Lie compleja g si g es la complejización de g ₀ :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

La noción de forma real también puede definirse para grupos de Lie complejos . Las formas reales de grupos de Lie semisimples complejos y álgebras de Lie han sido clasificadas completamente por Élie Cartan .

Utilizando la correspondencia de Lie entre grupos de Lie y álgebras de Lie , se puede definir la noción de forma real para los grupos de Lie. En el caso de los grupos algebraicos lineales , las nociones de complejización y forma real tienen una descripción natural en el lenguaje de la geometría algebraica .

Así como las álgebras de Lie semisimples complejas se clasifican mediante diagramas de Dynkin , las formas reales de un álgebra de Lie semisimple se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen a partir del diagrama de Dynkin de la forma compleja etiquetando algunos vértices de negro (rellenos) y conectando otros vértices de dos en dos mediante flechas, según ciertas reglas.

Es un hecho fundamental en la teoría de la estructura de las álgebras de Lie semisimples complejas que cada álgebra de este tipo posee dos formas reales especiales: una es la forma real compacta , que corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos), y la otra es la forma real escindida , que corresponde a un grupo de Lie lo más alejado posible de ser compacto (su diagrama de Satake no tiene vértices ennegrecidos ni flechas). En el caso del grupo lineal especial complejo SL ( n , C ), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU ( n ) y la forma real escindida es el grupo lineal especial real SL ( n , R ). La clasificación de las formas reales de las álgebras de Lie semisimples fue realizada por Élie Cartan en el contexto de los espacios simétricos riemannianos . En general, puede haber más de dos formas reales.

Supongamos que g ₀ es un álgebra de Lie semisimple sobre el cuerpo de los números reales. Por el criterio de Cartan , la forma de Killing es no degenerada y puede diagonalizarse en una base adecuada con entradas diagonales +1 o −1. Por la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas, o el índice de inercia positivo, es un invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizante. Este es un número entre 0 y la dimensión de g que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamado su índice .

En general, la construcción de la forma real compacta utiliza la teoría de la estructura de las álgebras de Lie semisimples. Para las álgebras de Lie clásicas existe una construcción más explícita.

Sea g ₀ un álgebra de Lie real de matrices sobre R que es cerrada bajo la aplicación transpuesta,

${\displaystyle X\to {X}^{t}.}$

Entonces g ₀ se descompone en la suma directa de su parte antisimétrica k ₀ y su parte simétrica p ₀ . Esta es la descomposición de Cartan :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.}$

La complejización g de g ₀ se descompone en la suma directa de g ₀ e ig ₀ . El espacio vectorial real de matrices

${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}}$

es un subespacio del álgebra de Lie compleja g que es cerrado bajo los conmutadores y consta de matrices antihermíticas . De ello se deduce que u ₀ es una subálgebra de Lie real de g , que su forma de Killing es definida negativa (lo que la convierte en un álgebra de Lie compacta) y que la complejización de u ₀ es g . Por lo tanto, u ₀ es una forma compacta de g .

• Complejización (grupo de Lie)