Sistema de resortes

En ingeniería y física, un sistema de resortes o red de resortes es un modelo físico descrito como un grafo con una posición en cada vértice y un resorte de rigidez y longitud dadas a lo largo de cada arista. Esto generaliza la ley de Hooke a dimensiones superiores. Este modelo simple puede usarse para resolver la pose de sistemas estáticos, desde redes cristalinas hasta resortes. Un sistema de resortes puede considerarse el caso más simple del método de elementos finitos para resolver problemas en estática . Suponiendo resortes lineales y pequeñas deformaciones (o restringiendo el movimiento a una dimensión), un sistema de resortes puede expresarse como un sistema de ecuaciones lineales (posiblemente sobredeterminado) o, equivalentemente, como un problema de minimización de energía .

Consideremos el caso simple de tres nodos, en una dimensión.${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}}$, conectados por dos resortes. Si se sabe que las longitudes nominales, L , de los resortes son 1 y 2 unidades respectivamente, es decir${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$, entonces el sistema se puede resolver de la siguiente manera:

 El estiramiento de los dos resortes viene dado como una función de las posiciones de los nodos por

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} }$

dónde${\displaystyle B^{\top }}$es la transpuesta de la matriz de incidencia orientada

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1&0\\1&-1\\0&1\end{bmatrix}},}$

relacionar cada grado de libertad con la dirección en la que cada resorte tira de él. Las fuerzas sobre los resortes son

${\displaystyle F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L} }$

donde W es una matriz diagonal que indica la rigidez de cada resorte. Entonces, la fuerza en los nodos viene dada por la izquierda multiplicando por${\displaystyle B}$, que establecemos en cero para encontrar el equilibrio:

${\displaystyle F_{\text{nodos}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0}$

lo que da como resultado la ecuación lineal:

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L} }$.

Ahora, la matriz${\displaystyle BWB^{\top }}$es singular, porque todas las soluciones son equivalentes salvo traslación de cuerpo rígido. Prescribamos una condición de contorno de Dirichlet , por ejemplo,${\displaystyle x_{1}=2}$.

Como ejemplo, sea W la matriz identidad .

${\displaystyle BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}}$

es la matriz laplaciana . Sustituyendo${\displaystyle x_{1}=2}$tenemos

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

Al incorporar el 2 al lado izquierdo se obtiene

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

y eliminando filas del sistema que ya conocemos y simplificando, nos queda con

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$.

para que podamos resolverlo

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}}$.

Eso es,${\displaystyle x_{1}=2}$, según lo prescrito, y${\displaystyle x_{2}=3}$, dejando flojo el primer resorte, y${\displaystyle x_{3}=5}$, dejando flojo el segundo resorte.

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• Modelo de red anisotrópica
• Matriz de rigidez
• Sistema masa-resorte
• matriz laplaciana

• La física de los resortes