Resolución de Springer

En matemáticas, la resolución de Springer es una resolución de la variedad de elementos nilpotentes en un álgebra de Lie semisimple , ^{[ 1 ] [ 2 ]} o los elementos unipotentes de un grupo algebraico reductivo, introducida por Tonny Albert Springer en 1969. ^{[ 3 ]} Las fibras de esta resolución se denominan fibras de Springer . ^{[ 4 ]}

Si U es la variedad de elementos unipotentes en un grupo reductivo G , y X la variedad de subgrupos de Borel B , entonces la resolución de Springer de U es la variedad de pares ( u , B ) de U × X tales que u pertenece al subgrupo de Borel B. La aplicación a U es la proyección al primer factor. La resolución de Springer para álgebras de Lie es similar, excepto que U se reemplaza por los elementos nilpotentes del álgebra de Lie de G y X se reemplaza por la variedad de subálgebras de Borel. ^{[ 5 ]}

La resolución de Grothendieck-Springer se define de forma similar, excepto que U se reemplaza por todo el grupo G (o toda el álgebra de Lie de G ). Cuando se restringe a los elementos unipotentes de G, se convierte en la resolución de Springer. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Cuando G=SL(2) , la resolución del álgebra de Lie de Springer es T ^* P ¹ → n , donde n son los elementos nilpotentes de sl(2) . En este ejemplo, n son las matrices x con tr(x ² )=0 , que es una subvariedad cónica bidimensional de sl(2) . n tiene un único punto singular 0 , la fibra por encima de la cual en la resolución de Springer es la sección cero P ¹ .