Soluciones extrañas y faltantes

En matemáticas , una solución extraña (o espuria ) es aquella que surge del proceso de resolución de un problema pero que no es una solución válida. ^{[ 1 ]} Una solución faltante es una solución válida que se pierde durante el proceso de resolución. Ambas situaciones suelen resultar de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables involucradas, lo que impide que la cadena de implicaciones lógicas sea bidireccional.

Uno de los principios básicos del álgebra es que se puede multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin que cambien sus soluciones. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que no existían previamente. Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Si multiplicamos ambos lados por cero, obtenemos:

${\displaystyle 0=0.}$

Esto es cierto para todos los valores de${\displaystyle x}$Por lo tanto, el conjunto solución son todos los números reales. Pero es evidente que no todos los números reales son soluciones de la ecuación original. El problema radica en que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos revertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede revertir.

De forma más sutil, supongamos que tomamos la misma ecuación y multiplicamos ambos lados por${\displaystyle x}$. Nosotros conseguimos

${\displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0.}$

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones:${\displaystyle x=-2}$y${\displaystyle x=0.}$Pero si${\displaystyle 0}$se sustituye por${\displaystyle x}$En la ecuación original, el resultado es la ecuación inválida.${\displaystyle 2=0}$Este resultado contraintuitivo se produce porque en el caso donde${\displaystyle x=0}$multiplicando ambos lados por${\displaystyle x}$multiplica ambos lados por cero y, por lo tanto, produce necesariamente una ecuación verdadera, tal como en el primer ejemplo.

En general, siempre que multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas dondequiera que esa expresión sea igual a cero. Pero no basta con excluir estos valores, porque podrían haber sido soluciones legítimas de la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original.${\displaystyle x+2=0}$por${\displaystyle x+2.}$Nosotros obtenemos

${\displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

que tiene una única solución real:${\displaystyle x=-2}$. Esta es una solución a la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque${\displaystyle x+2=0}$para este valor de${\displaystyle x}$.

Pueden surgir soluciones extrañas de forma natural en problemas que involucran fracciones con variables en el denominador. Por ejemplo, considere esta ecuación:

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.}$

Para comenzar a resolver, multiplicamos cada lado de la ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones contenidas en la ecuación. En este caso, el mínimo común denominador es${\displaystyle (x-2)(x+2)}$Tras realizar estas operaciones, se eliminan las fracciones y la ecuación queda:

${\displaystyle x+2=3(x-2)-6x\,.}$

Resolver esto produce la única solución.${\displaystyle x=-2.}$Sin embargo, cuando sustituimos la solución en la ecuación original, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}}\,.}$

La ecuación queda entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.}$

Esta ecuación no es válida, ya que no se puede dividir por cero . Por lo tanto, la solución es${\displaystyle x=-2}$es extraño e inválido, y la ecuación original no tiene solución.

Para este ejemplo específico, se podría reconocer que (para el valor${\displaystyle x=-2}$), la operación de multiplicar por${\displaystyle (x-2)(x+2)}$Sería una multiplicación por cero. Sin embargo, no siempre es sencillo evaluar si cada operación realizada es válida para la respuesta final. Por ello, a menudo, la única forma sencilla y eficaz de abordar la multiplicación por expresiones con variables es sustituir cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación original y confirmar que se obtiene una ecuación válida. Tras descartar las soluciones que no dan como resultado una ecuación válida, obtendremos el conjunto correcto de soluciones. En algunos casos, como en el ejemplo anterior, se pueden descartar todas las soluciones, en cuyo caso la ecuación original no tiene solución.

Las soluciones extrañas no son demasiado difíciles de manejar, ya que solo requieren verificar la validez de todas ellas. Sin embargo, más insidiosas son las soluciones faltantes, que pueden ocurrir al realizar operaciones con expresiones que no son válidas para ciertos valores de dichas expresiones.

Por ejemplo, si estuviéramos resolviendo la siguiente ecuación, la solución correcta se obtiene restando${\displaystyle 4}$de ambos lados, luego dividiendo ambos lados por${\displaystyle 2}$:

${\displaystyle 2x+4=0,}$

${\displaystyle 2x=-4,}$

${\displaystyle x=-2.}$

Por analogía, podríamos suponer que podemos resolver la siguiente ecuación restando${\displaystyle 2x}$de ambos lados, luego dividiendo por${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${\displaystyle x^{2}=-2x,}$

${\displaystyle x=-2.}$

La solución${\displaystyle x=-2}$es de hecho una solución válida a la ecuación original; pero la otra solución,${\displaystyle x=0}$, ha desaparecido. El problema es que dividimos ambos lados por${\displaystyle x}$, que implica la operación indeterminada de dividir por cero cuando${\displaystyle x=0.}$

En general, es posible (y recomendable) evitar dividir por cualquier expresión que pueda ser cero; sin embargo, cuando esto sea necesario, basta con asegurarse de que cualquier valor de las variables que la haga cero tampoco satisfaga la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tenemos esta ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Es válido dividir ambos lados por${\displaystyle x-2}$, obteniendo la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {x+2}{x-2}}=0.}$

Esto es válido porque el único valor de${\displaystyle x}$eso hace${\displaystyle x-2}$igual a cero es${\displaystyle x=2,}$lo cual no es una solución a la ecuación original.

En algunos casos no nos interesan ciertas soluciones; por ejemplo, es posible que solo queramos soluciones donde${\displaystyle x}$es positivo. En este caso es aceptable dividir por una expresión que sea solo cero cuando${\displaystyle x}$es cero o negativo, porque esto solo puede eliminar soluciones que no nos interesan.

La multiplicación y la división no son las únicas operaciones que pueden modificar el conjunto de soluciones. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema:

${\displaystyle x^{2}=4.}$

Si tomamos la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos:

${\displaystyle x=2.}$

Aquí no estamos tomando la raíz cuadrada de ningún valor negativo, ya que ambos${\displaystyle x^{2}}$y${\displaystyle 4}$son necesariamente positivos. Pero hemos perdido la solución.${\displaystyle x=-2.}$La razón es que${\displaystyle x}$en realidad no es en general la raíz cuadrada positiva de${\displaystyle x^{2}.}$Si${\displaystyle x}$es negativo, la raíz cuadrada positiva de${\displaystyle x^{2}}$es${\displaystyle -x.}$Si el paso se realiza correctamente, conduce en cambio a la ecuación:

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.}$

${\displaystyle |x|=2.}$

${\displaystyle x=\pm 2.}$

Esta ecuación tiene las mismas dos soluciones que la original:${\displaystyle x=2}$y${\displaystyle x=-2.}$

También podemos modificar el conjunto de soluciones elevando al cuadrado ambos lados, ya que esto hará que cualquier valor negativo en los rangos de la ecuación se vuelva positivo, lo que provocará soluciones extrañas.

• Prueba inválida