Unidad imaginaria

Al ser un polinomio cuadrático sin raíces múltiples , la ecuación definitoria x² = −1 ^tiene dos soluciones distintas, igualmente válidas, que resultan ser inversas aditivas y multiplicativas entre sí. Aunque las dos soluciones son números distintos, sus propiedades son indistinguibles; no existe ninguna propiedad que una tenga que la otra no. Una de estas dos soluciones se denomina + i (o simplemente i ) y la otra −i , aunque resulta inherentemente ambiguo cuál es cuál.

Las únicas diferencias entre + i y − i surgen de esta nomenclatura. Por ejemplo, por convención se dice que + i tiene un argumento de${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$y − i se dice que tiene un argumento de${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$relacionado con la convención de etiquetar las orientaciones en el plano cartesiano con respecto al eje x positivo , donde los ángulos positivos giran en sentido antihorario en la dirección del eje y positivo . Además, a pesar de los signos escritos con ellos, ni + i ni −i son inherentemente positivos o negativos en el sentido en que lo son los números reales. ^{[ 5 ]}

Una expresión más formal de esta indistinguibilidad de + i y −i es que, aunque el cuerpo complejo es único (como extensión de los números reales) salvo isomorfismo , no es único salvo un único isomorfismo. Es decir, existen dos automorfismos de cuerpo de los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$que mantienen fijos todos los números reales, a saber, la identidad y la conjugación compleja . Para más información sobre este fenómeno general, véase Grupo de Galois .

Utilizando los conceptos de matrices y multiplicación de matrices ^, los números complejos pueden representarse en álgebra lineal. La unidad real 1 y la unidad imaginaria i pueden representarse mediante cualquier par de matrices I y J que satisfagan I² = I , IJ = JI = J y J² = −I . Entonces , un número complejo a + bi puede representarse mediante la matriz aI + bJ , y todas las reglas ordinarias de la aritmética compleja pueden derivarse de las reglas de la aritmética matricial ^.

La opción más común es representar 1 e i mediante la matriz identidad de 2 × 2 I y la matriz J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Entonces, un número complejo arbitrario a + bi puede representarse mediante:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

En términos más generales, cualquier matriz de 2 × 2 de valores reales con traza cero y determinante cuadrado igual a uno es −I , por lo que podría elegirse para J. También podrían utilizarse matrices más grandes; por ejemplo, 1 podría representarse mediante la matriz identidad de 4 × 4 e i podría representarse mediante cualquiera de las matrices de Dirac para dimensiones espaciales.

Los polinomios (sumas ponderadas de las potencias de una variable) son una herramienta básica en álgebra. Los polinomios cuyos coeficientes son números reales forman un anillo , denotado${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$una estructura algebraica con suma y multiplicación y que comparte muchas propiedades con el anillo de los enteros .

El polinomio${\displaystyle x^{2}+1}$no tiene raíces de números reales , pero el conjunto de todos los polinomios de coeficientes reales divisibles por${\displaystyle x^{2}+1}$forma un ideal , y por lo tanto hay un anillo cociente${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$Este anillo cociente es isomorfo a los números complejos y la variable${\displaystyle x}$expresa la unidad imaginaria.

Los números complejos se pueden representar gráficamente dibujando la recta numérica real como eje horizontal y los números imaginarios como eje vertical de un plano cartesiano llamado plano complejo . En esta representación, los números 1 e i están a la misma distancia de 0 , formando un ángulo recto entre ellos. La suma de un número complejo corresponde a una traslación en el plano, mientras que la multiplicación por un número complejo de magnitud unitaria corresponde a una rotación alrededor del origen. Toda transformación de semejanza del plano se puede representar mediante una función lineal compleja.${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

En el álgebra geométrica del plano euclidiano , el producto geométrico o cociente de dos vectores arbitrarios es la suma de una parte escalar (número real) y una parte bivectorial . (Un escalar es una magnitud sin orientación, un vector es una magnitud orientada como una línea y un bivector es una magnitud orientada como un plano). El cuadrado de cualquier vector es un escalar positivo, que representa su longitud al cuadrado, mientras que el cuadrado de cualquier bivector es un escalar negativo.

El cociente de un vector consigo mismo es el escalar 1 = u / u , y cuando se multiplica por cualquier vector lo deja inalterado (la transformación identidad ). El cociente de dos vectores perpendiculares cualesquiera de la misma magnitud, J = u / v , que cuando se multiplican rota el divisor un cuarto de vuelta en el dividendo, Jv = u , es un bivector unitario que al cuadrado es −1 , y por lo tanto puede tomarse como representante de la unidad imaginaria. Cualquier suma de un escalar y un bivector puede multiplicarse por un vector para escalarlo y rotarlo, y el álgebra de tales sumas es isomorfa al álgebra de los números complejos. En esta interpretación, los puntos, los vectores y las sumas de escalares y bivectores son todos tipos distintos de objetos geométricos. ^{[ 6 ]}

De manera más general, en el álgebra geométrica de cualquier espacio euclidiano de dimensión superior , un bivector unitario de cualquier orientación planar arbitraria se eleva al cuadrado a −1 , por lo que puede tomarse para representar la unidad imaginaria i .

Cuando se suma o se resta repetidamente la unidad imaginaria, el resultado es un número entero multiplicado por la unidad imaginaria, un número entero imaginario ; cualesquiera de estos números se pueden sumar y el resultado también es un número entero imaginario:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Así, la unidad imaginaria es el generador de un grupo bajo la suma, específicamente un grupo cíclico infinito .

La unidad imaginaria también puede multiplicarse por cualquier número real para formar un número imaginario . Estos números pueden representarse en una recta numérica , el eje imaginario , que, como parte del plano complejo, se dibuja normalmente en posición vertical, perpendicular al eje real, que se dibuja horizontalmente.

Las sumas de enteros de la unidad real 1 y la unidad imaginaria i forman una red cuadrada en el plano complejo llamada enteros gaussianos . La suma, la diferencia o el producto de enteros gaussianos también son enteros gaussianos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Cuando se multiplica por la unidad imaginaria i , cualquier número complejo arbitrario en el plano complejo se rota un cuarto de vuelta (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$radianes o 90° ) en sentido antihorario . Cuando se multiplica por − i , cualquier número complejo arbitrario se rota un cuarto de vuelta en sentido horario. En forma polar:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

En forma rectangular,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

Las potencias de i se repiten en un ciclo que se puede expresar con el siguiente patrón, donde n es cualquier número entero:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Así, bajo la multiplicación, i es un generador de un grupo cíclico de orden 4, un subgrupo discreto del grupo circular continuo de los números complejos unitarios bajo la multiplicación.

Escrita como un caso especial de la fórmula de Euler para un entero n ,

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

Con una cuidadosa selección de cortes de rama y valores principales , esta última ecuación también puede aplicarse a valores complejos arbitrarios de n , incluyendo casos como n = i .

Al igual que todos los números complejos distintos de cero,${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$tiene dos raíces cuadradas distintas que son inversas aditivas . En forma polar, son $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

En forma rectangular, son ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Elevar al cuadrado cualquiera de las expresiones produce $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Las tres raíces cúbicas de i son ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Para un entero positivo general n , las raíces n -ésimas de i son, para k = 0, 1, ..., n − 1,$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$ El valor asociado a k = 0 es la raíz principal n -ésima de i . El conjunto de raíces es igual al conjunto correspondiente de raíces de la unidad rotadas por la raíz principal n -ésima de i . Estos son los vértices de un polígono regular inscrito en el círculo unitario complejo .

La función exponencial compleja relaciona la suma compleja en el dominio con la multiplicación compleja en el codominio. Los valores reales en el dominio representan el escalamiento en el codominio (multiplicación por un escalar real), donde 1 representa la multiplicación por e , mientras que los valores imaginarios en el dominio representan la rotación en el codominio (multiplicación por un número complejo unitario), donde i representa una rotación de 1 radián. La exponencial compleja es, por lo tanto, una función periódica en la dirección imaginaria, con un período de 2πi y una imagen de 1 en los puntos 2kπi para todos los enteros k , un múltiplo real de la red de enteros imaginarios.

La exponencial compleja se puede descomponer en componentes pares e impares , las funciones hiperbólicas cosh y sinh o las funciones trigonométricas cos y sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

La fórmula de Euler descompone la exponencial de un número imaginario que representa una rotación:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Este hecho puede utilizarse para demostrar, entre otras cosas, el resultado aparentemente contraintuitivo de que${\displaystyle i^{i}}$es un número real. ^{[ 13 ]}

El cociente coth z = cosh z / sinh z , con el escalado apropiado, puede representarse como una descomposición en fracciones parciales infinita como la suma de funciones recíprocas trasladadas por enteros imaginarios: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Otras funciones basadas en la exponencial compleja están bien definidas con entradas imaginarias. Por ejemplo, un número elevado a la potencia ni es: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Debido a que la exponencial es periódica, su inversa, el logaritmo complejo , es una función multivaluada , donde cada número complejo en el dominio corresponde a múltiples valores en el codominio, separados entre sí por cualquier múltiplo entero de 2πi . Una forma de obtener una función unívoca es tratar el codominio como un cilindro , donde los valores complejos separados por cualquier múltiplo entero de 2πi se tratan como el mismo valor; otra es tomar el dominio como una superficie de Riemann que consiste en múltiples copias del plano complejo unidas a lo largo del eje real negativo como un corte de rama , donde cada rama en el dominio corresponde a una tira infinita en el codominio. ^{[ 15 ]} Por lo tanto, las funciones que dependen del logaritmo complejo dependen de una elección cuidadosa de la rama para definir y evaluar claramente.

Por ejemplo, si uno elige cualquier rama donde${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$entonces cuando x es un número real positivo, $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

El factorial de la unidad imaginaria i se suele dar en términos de la función gamma evaluada en 1 + i : ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos(\ln t)\,dt+i\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sin(\ln t)\,dt\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

La magnitud y el argumento de este número son: ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$