raíz cuadrada de 3

La raíz cuadrada de 3 es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número 3. Se denota matemáticamente como${\textstyle {\sqrt {3}}}$o${\displaystyle 3^{1/2}}$Se le denomina más precisamente raíz cuadrada principal de 3 para distinguirla del número negativo con la misma propiedad. La raíz cuadrada de 3 es un número irracional . También se la conoce como constante de Teodoro , en honor a Teodoro de Cirene , quien demostró su irracionalidad. ^{[ 1 ]}

En 2013, su valor numérico en notación decimal se calculó hasta diez mil millones de dígitos. ^{[ 2 ]} Su expansión decimal , escrita aquí hasta 60 decimales, viene dada por OEIS : A002194  :

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

Arquímedes informó un rango para su valor:${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$. ^{[ 3 ]}

El límite superior${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$es una aproximación precisa para${\displaystyle {\sqrt {3}}}$a${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$(seis decimales, error relativo)${\textstyle 3\times 10^{-7}}$) y el límite inferior${\textstyle {\frac {265}{153}}}$a${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$(cuatro cifras decimales, error relativo)${\textstyle 1\times 10^{-5}}$).

La raíz cuadrada de 3 es un número irracional , lo que significa que no se puede representar exactamente como una fracción .${\displaystyle x/y}$¿ Dónde ?${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$son números enteros . Sin embargo, se puede aproximar arbitrariamente bien mediante dichos números racionales .

Particularmente buenas aproximaciones son las soluciones enteras de las ecuaciones de Pell ,

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$

que se puede reorganizar algebraicamente en la forma

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {3+{\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

Las primeras soluciones se presentan a continuación:

( OEIS : A001075  , OEIS : A001353  )

Estas aproximaciones también aparecen entre las convergentes de su fracción continua .

La altura de un triángulo equilátero con lado de longitud 2 es √ 3 . Además, el cateto largo de un triángulo 30-60-90 con hipotenusa 2.

Y la altura de un hexágono regular con lados de longitud 1

La raíz cuadrada de 3 se puede encontrar como la longitud del cateto de un triángulo equilátero que engloba un círculo con un diámetro de 1.

Si un triángulo equilátero con lados de longitud 1 se corta en dos mitades iguales, bisecando un ángulo interno para formar un ángulo recto con uno de los lados, la hipotenusa del triángulo rectángulo tiene longitud uno, y los lados tienen longitud${\textstyle {\frac {1}{2}}}$y${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. A partir de esto,${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$,${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, y${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

La raíz cuadrada de 3 también aparece en expresiones algebraicas para varias otras constantes trigonométricas , incluyendo ^{[ 4 ]} los senos de otros ángulos. Por ejemplo,${\textstyle \tan {15^{\circ }}=2-{\sqrt {3}}}$y${\textstyle \tan {75^{\circ }}=2+{\sqrt {3}}}$.

Es la distancia entre lados paralelos de un hexágono regular con lados de longitud 1. También es la longitud del lado más largo de un triángulo formado por dos lados adyacentes de un hexágono regular, según la ley de los cosenos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]\end{aligned}}}$$

Dado que cada ángulo de un hexágono regular es 120°, podemos sustituir 120° por${\displaystyle \gamma }$en la ecuación anterior.

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=1^{2}+1^{2}-2ab\cos 120^{\circ }\\&=1+1-2(-1/2)\\&=2-(-1)\\&=3\\c={\sqrt {3}}\end{aligned}}}$$

Es la longitud de la diagonal espacial de un cubo unitario .

La vesica piscis tiene una relación entre el eje mayor y el eje menor igual a${\displaystyle {\sqrt {3}}:1}$Esto se puede demostrar construyendo dos triángulos equiláteros dentro de él.

• Podestá, Ricardo A. (2023). "Pruebas geométricas de que${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,${\displaystyle {\sqrt {5}}}$y${\displaystyle {\sqrt {7}}}$son irracionales". Mathematics Magazine . 96 (1): 34– 39. arXiv : 2003.06627 . doi : 10.1080/0025570X.2023.2168436 . MR 4556102 . 
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (  Edición revisada). Londres: Penguin Group. pág.  23.

• La constante de Teodoro en MathWorld
• Kevin Brown, Arquímedes y la raíz cuadrada de 3