Categoría de módulo estable

En matemáticas, especialmente en la teoría de la representación , la categoría de módulos estables es un cociente de una categoría de módulos en la que se "factorizan" los proyectivos.

Sea R un anillo . Para dos módulos M y N sobre R , definimos${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$es el conjunto de aplicaciones lineales R de M a N módulo la relación de que f ~ g si f − g se factoriza a través de un módulo proyectivo . La categoría de módulo estable se define estableciendo que los objetos son los R- módulos, y los morfismos son las clases de equivalencia.    ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$.

Dado un módulo M , sea P un módulo proyectivo con una sobreyección.${\displaystyle p\colon P\to M}$. Luego configura${\displaystyle \Omega (M)}$ser el núcleo de p . Supongamos que se nos da un morfismo${\displaystyle f\colon M\to N}$y una sobreyección${\displaystyle q\colon Q\to N}$donde Q es proyectivo. Entonces se puede elevar f a un mapa${\displaystyle P\to Q}$qué mapas${\displaystyle \Omega (M)}$en${\displaystyle \Omega (N)}$Esto da como resultado un functor bien definido.${\displaystyle \Omega }$de la categoría de módulo estable a sí misma.

Para ciertos anillos, como las álgebras de Frobenius ,${\displaystyle \Omega }$es una equivalencia de categorías . En este caso, la inversa${\displaystyle \Omega ^{-1}}$se puede definir de la siguiente manera. Dado M , encontrar un módulo inyectivo I con una inclusión${\displaystyle i\colon M\to I}$. Entonces${\displaystyle \Omega ^{-1}(M)}$se define como el conúcleo de i . Un caso de particular interés es cuando el anillo R es un álgebra de grupo .

El functor Ω ⁻¹ puede incluso definirse en la categoría de módulos de un anillo general (sin factorizar proyectivos), como el cokernel de la envoltura inyectiva . En este caso, no es necesario que el functor Ω ⁻¹ sea realmente un inverso de Ω. Una propiedad importante de la categoría de módulos estable es que permite definir el functor Ω para anillos generales. Cuando R es perfecto (o M es finitamente generado y R es semiperfecto ), entonces Ω( M ) puede definirse como el kernel de la cubierta proyectiva , dando un functor en la categoría de módulos. Sin embargo, en general, las cubiertas proyectivas no tienen por qué existir, por lo que es necesario pasar a la categoría de módulos estable.

Ahora suponemos que R = kG es un álgebra de grupo para algún cuerpo k y algún grupo G. Se puede demostrar que existen isomorfismos.

${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,\Omega ^{-n}(N))}$

para cada entero positivo n . La cohomología de grupo de una representación M viene dada por${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm {Ext} _{kG}^{n}(k,M)}$donde k tiene una G -acción trivial, de modo que de esta manera la categoría de módulos estables proporciona un entorno natural en el que reside la cohomología de grupos.

Además, el isomorfismo anterior sugiere definir grupos de cohomología para valores negativos de n , y de esta manera se recupera la cohomología de Tate .

Una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to X\to E\to Y\to 0}$

en la categoría de módulo usual define un elemento de${\displaystyle \mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)}$y por lo tanto un elemento de${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))}$, de modo que obtenemos una secuencia

${\displaystyle X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).}$

Tomando${\displaystyle \Omega ^{-1}}$para ser el functor de traslación y tales secuencias como las anteriores sean triángulos exactos, la categoría de módulo estable se convierte en una categoría triangulada .

• Teoría de homotopía estable

• JF Carlson, Lisa Townsley, Luis Valero-Elizondo, Mucheng Zhang, Anillos de cohomología de grupos finitos , Springer-Verlag, 2003.