Haz de vectores estables

En matemáticas , un fibrado vectorial estable es un fibrado vectorial ( holomorfo o algebraico ) que es estable en el sentido de la teoría de invariantes geométricos . Cualquier fibrado vectorial holomorfo puede construirse a partir de fibrados estables mediante la filtración de Harder-Narasimhan . Los fibrados estables fueron definidos por David Mumford en Mumford (1963) y posteriormente ampliados por David Gieseker , Fedor Bogomolov , Thomas Bridgeland y muchos otros.

En una variedad proyectiva lisa, los haces de líneas con invariantes numéricos dados se parametrizan sobre un espacio de módulos bien comportado (isomorfo a la variedad de Picard) . Este espacio es, en particular, un esquema propio y separado de tipo finito , lo que permite su análisis algebraico-geométrico. Consideraciones similares fallan al parametrizar ingenuamente haces vectoriales de rango superior.

Como ejemplo, consideremos los módulos de haces vectoriales de rango${\displaystyle r=2}$y primera clase Chern${\displaystyle c_{1}=0}$en la línea proyectiva compleja${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$Si formaran un espacio de módulos separado, el criterio de valoración implicaría que cualquier familia sobre la línea punteada${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$puede completarse para como máximo una familia más${\displaystyle \mathbb {C} }$. Pero es sencillo construir una familia que admita dos completaciones no isomorfas.

De hecho, consideremos la familia constante que asigna cada${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$al paquete${\displaystyle V_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$. Tensorización de la secuencia de Euler de${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$por${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$da una secuencia exacta no dividida${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$, ^{[ 1 ]} y por lo tanto esta familia puede describirse diciendo${\displaystyle V_{t}}$es la extensión correspondiente a${\displaystyle 1\in \mathbb {C} \simeq \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$. Asimismo, asignando${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$a la extensión correspondiente a${\displaystyle t\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$proporciona otra familia${\displaystyle W_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$. Las dos familias son isomorfas, donde el isomorfismo${\displaystyle V_{t}\to W_{t}}$es inducido por el automorfismo${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\a {\mathcal {O}}(-1)}$dado por la multiplicación por${\displaystyle t}$- es decir, tenemos dos descripciones equivalentes de la misma familia.

Cuando se completa de forma natural${\displaystyle \mathbb {C} }$, la primera descripción continúa produciendo la extensión${\displaystyle V_{0}={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$correspondiente a${\displaystyle 1\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$La segunda descripción, por otro lado, produce la extensión dividida.${\displaystyle W_{0}\simeq {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$correspondiente a${\displaystyle t=0\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$Los dos haces, y por lo tanto las dos completaciones, no son isomorfos.

La noción de estabilidad aborda este problema restringiendo la clase de haces que pueden aparecer en el espacio de módulos, con el resultado de preservar propiedades algebraico-geométricas deseables.

La pendiente de un fibrado vectorial holomorfo W sobre una curva algebraica no singular (o sobre una superficie de Riemann ) es un número racional μ(W) = deg( W )/rank( W ). Un fibrado W es estable si y solo si ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

para todos los subfibrados propios no nulos V de W y es semiestable si

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

para todos los subfibrados propios no nulos V de W. De manera informal, esto significa que un fibrado es estable si es "más amplio " que cualquier subfibrado propio, y es inestable si contiene un subfibrado "más amplio".

Si W y V son haces vectoriales semiestables y μ(W) > μ (V) , entonces no existen aplicaciones no nulas W → V.

Mumford demostró que el espacio de módulos de fibrados estables de rango y grado dados sobre una curva no singular es una variedad algebraica cuasiproyectiva . La cohomología del espacio de módulos de fibrados vectoriales estables sobre una curva fue descrita por Harder y Narasimhan (1975) utilizando geometría algebraica sobre cuerpos finitos y por Atiyah y Bott (1983) utilizando el enfoque de Narasimhan-Seshadri .

Si X es una variedad proyectiva lisa de dimensión m y H es una sección hiperplana , entonces un fibrado vectorial (o un haz libre de torsión ) W se denomina estable (o a veces estable de Gieseker ) si

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ para }}n{\text{ grande}}}$

para todos los subfibrados (o subhaces) propios no nulos V de W , donde χ denota la característica de Euler de un fibrado vectorial algebraico y el fibrado vectorial V(nH) significa la n -ésima torsión de V por H. W se denomina semiestable si se cumple lo anterior con < reemplazado por ≤.

Para haces sobre curvas, la estabilidad definida por pendientes y por el crecimiento del polinomio de Hilbert coinciden. En dimensiones superiores, estas dos nociones difieren y presentan distintas ventajas. La estabilidad de Gieseker se interpreta en términos de la teoría de invariantes geométricos , mientras que la μ-estabilidad ofrece mejores propiedades para productos tensoriales , retrocesos , etc.

Sea X una variedad proyectiva lisa de dimensión n , H su sección hiperplana . La pendiente de un fibrado vectorial (o, más generalmente, un haz coherente sin torsión ) E con respecto a H es un número racional definido como

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

donde c ₁ es la primera clase de Chern . La dependencia de H a menudo se omite en la notación.

Un haz coherente sin torsión E es μ-semiestable si para cualquier subhaz no nulo F ⊆ E las pendientes satisfacen la desigualdad μ(F) ≤ μ(E). Es μ-estable si, además, para cualquier subhaz no nulo F ⊆ E de menor rango se cumple la desigualdad estricta μ(F) < μ(E). Esta noción de estabilidad puede denominarse estabilidad de pendiente, μ-estabilidad, o en ocasiones estabilidad de Mumford o estabilidad de Takemoto.

Para un fibrado vectorial E se cumple la siguiente cadena de implicaciones: E es μ-estable ⇒ E es estable ⇒ E es semiestable ⇒ E es μ-semiestable.

Sea E un fibrado vectorial sobre una curva proyectiva suave X. Entonces existe una filtración única por subfibrados.

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

de tal manera que los componentes graduados asociados F _i  := E _{i +1} / E _i son haces vectoriales semiestables y las pendientes disminuyen, μ( F _i ) > μ( F _{i +1} ). Esta filtración fue introducida en Harder y Narasimhan (1975) y se llama filtración de Harder-Narasimhan . Dos haces vectoriales con grados asociados isomorfos se llaman S-equivalentes .

En variedades de dimensiones superiores, la filtración también existe siempre y es única, pero los componentes graduados asociados pueden dejar de ser haces. Para la estabilidad de Gieseker, las desigualdades entre pendientes deben sustituirse por desigualdades entre polinomios de Hilbert.

El teorema de Narasimhan-Seshadri afirma que los fibrados estables sobre una curva proyectiva no singular son los mismos que aquellos que tienen conexiones irreducibles unitarias proyectivamente planas . Para fibrados de grado 0, las conexiones proyectivamente planas son planas y, por lo tanto, los fibrados estables de grado 0 corresponden a representaciones unitarias irreducibles del grupo fundamental .

Kobayashi y Hitchin conjeturaron un análogo de esto en dimensiones superiores. Donaldson (1985) lo demostró para superficies proyectivas no singulares , mostrando que en este caso un fibrado vectorial es estable si y solo si tiene una conexión hermitiana-einstein irreducible .

Es posible generalizar la (μ-)estabilidad a esquemas proyectivos no suaves y haces coherentes más generales usando el polinomio de Hilbert . Sea X un esquema proyectivo , d un número natural, E un haz coherente en X con dim Supp( E ) = d . Escribimos el polinomio de Hilbert de E como P _E ( m ) = Σ ^d _{i =0} α _i ( E )/( i !) m ⁱ . Definimos el polinomio de Hilbert reducido p _E := P _E /α _d ( E ). 

Un haz coherente E es semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 3 ]}

• E es puro de dimensión d , es decir, todos los primos asociados de E tienen dimensión d ;
• Para cualquier subhaz no nulo propio F ⊆ E, los polinomios de Hilbert reducidos satisfacen p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) para m grande .

Un haz se denomina estable si se cumple la desigualdad estricta p _F ( m ) < p _E ( m ) para valores grandes de m .

Sea Coh _d (X) la subcategoría completa de haces coherentes en X con soporte de dimensión ≤ d . La pendiente de un objeto F en Coh _d puede definirse utilizando los coeficientes del polinomio de Hilbert como${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$si α _d ( F ) ≠ 0 y 0 en caso contrario. La dependencia de${\displaystyle {\sombrero {\mu }}_{d}}$La letra d se suele omitir de la notación.

Un haz coherente E con${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$Se denomina μ-semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[ 4 ]}

• La torsión de E está en dimensión ≤ d -2;
• para cualquier subobjeto no nulo F ⊆ E en la categoría cociente Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) tenemos${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$.

E es μ-estable si la desigualdad estricta se cumple para todos los subobjetos propios no nulos de E.

Nótese que Coh _d es una subcategoría de Serre para cualquier d , por lo que existe la categoría cociente. Un subobjeto en la categoría cociente en general no proviene de un subhaz, pero para haces sin torsión la definición original y la general para d = n son equivalentes.

También existen otras vías para realizar generalizaciones, por ejemplo, las condiciones de estabilidad de Bridgeland .

Se pueden definir los haces principales estables por analogía con los haces vectoriales estables.

• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• Correspondencia Corlette-Simpson
• Plan de cuotas

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983), "Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas , 308 (1505): 523–615 , Bibcode : 1983RSPTA.308..523A , doi : 10.1098/rsta.1983.0017 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 37156 , MR 0702806   
• Donaldson, SK (1985), "Conexiones anti-autoduales de Yang-Mills sobre superficies algebraicas complejas y haces vectoriales estables", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 50 (1): 1– 26, doi : 10.1112/plms/s3-50.1.1 , ISSN 0024-6115 , MR 0765366  
• Friedman, Robert (1998), Superficies algebraicas y haces vectoriales holomorfos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, MR 1600388 
• Harder, G.; Narasimhan, MS (1975), "Sobre los grupos de cohomología de los espacios de módulos de haces vectoriales sobre curvas", Mathematische Annalen , 212 (3): 215–248 , doi : 10.1007/BF01357141 , ISSN 0025-5831 , MR 0364254  
• Huybrechts, Daniel (18 de noviembre de 2004). Geometría compleja: Una introducción . Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: año ( enlace )
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), La geometría de los espacios de módulos de haces , Cambridge Mathematical Library (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
• Mumford, David (1963), "Invariantes proyectivos de estructuras proyectivas y aplicaciones", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Instituto Mittag-Leffler, págs. 526–530 , MR 0175899  
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)], vol.  34 (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 especialmente el apéndice 5C.
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965), "Fibrados vectoriales estables y unitarios en una superficie de Riemann compacta", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 82 (3), The Annals of Mathematics, Vol. 82, No. 3: 540– 567, doi : 10.2307/1970710 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970710 , MR 0184252