Pila (matemáticas)

Desde la creación de pilas algebraicas se esperaba que fueran pilas cociente locales de la forma${\displaystyle [{\text{Especificación}}(A)/G]}$dónde${\displaystyle G}$es un grupo algebraico linealmente reductivo . Esto se demostró recientemente: ^{[ 1 ]} dado un conjunto algebraico cuasi-separado${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$localmente de tipo finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle k}$cuyos estabilizadores son afines y${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$un punto liso y cerrado con grupo estabilizador linealmente reductor${\displaystyle G_{x}}$, existe una versión etale del coeficiente GIT${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$, dónde${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$, de tal manera que el diagrama

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

es cartesiano, y existe un morfismo étale.

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

induciendo un isomorfismo de los grupos estabilizadores en${\displaystyle w}$y${\displaystyle x}$.

Si${\displaystyle X}$es un plan${\displaystyle (Sch/S)}$y${\displaystyle G}$es un esquema de grupo afín suave que actúa sobre${\displaystyle X}$, entonces hay una pila algebraica de cociente${\displaystyle [X/G]}$, ^{[ 2 ]} tomando un plan${\displaystyle Y\to S}$al grupoide de${\displaystyle G}$-torsores sobre el${\displaystyle S}$-esquema${\displaystyle Y}$con${\displaystyle G}$-mapas equivariantes a${\displaystyle X}$Explícitamente, dado un espacio${\displaystyle X}$con un${\displaystyle G}$-acción, formar la pila${\displaystyle [X/G]}$, que (intuitivamente hablando) envía un espacio${\displaystyle Y}$al grupoide de diagramas de retroceso

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \Phi }$es un${\displaystyle G}$-morfismo equivariante de espacios y${\displaystyle Z\to Y}$es un director${\displaystyle G}$-fibrado. Los morfismos en esta categoría son simplemente morfismos de diagramas donde las flechas del lado derecho son iguales y las flechas del lado izquierdo son morfismos de principales${\displaystyle G}$-paquetes.

Un caso especial de esto, cuando X es un punto, da como resultado la pila de clasificación BG de un esquema de grupo afín suave G :${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$Se llama así porque la categoría${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$, la fibra sobre Y , es precisamente la categoría${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$de principal${\displaystyle G}$-paquetes más${\displaystyle Y}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$en sí mismo puede considerarse como una pila, la pila de módulos de los G -fibrados principales en Y.

Un subejemplo importante de esta construcción es${\displaystyle \mathbf {B} GL_ {n}}$, que es la pila de módulos de principal${\displaystyle GL_{n}}$-paquetes. Dado que los datos de un principal${\displaystyle GL_{n}}$-bundle es equivalente a los datos de un rango${\displaystyle n}$fibrado vectorial, que es isomorfo a la pila de módulos de rango${\displaystyle n}$haces de vectores${\displaystyle Vect_{n}}$.

Un gerbe es una pila en grupoides que es localmente no vacía, por ejemplo el gerbe trivial.${\displaystyle BG}$que asigna a cada esquema el grupoide de principal${\displaystyle G}$-paquetes sobre el esquema, para algún grupo${\displaystyle G}$.

Si A es un haz cuasi-coherente de álgebras en una pila algebraica X sobre un esquema S , entonces hay una pila Spec( A ) que generaliza la construcción del espectro Spec( A ) de un anillo conmutativo A. Un objeto de Spec( A ) está dado por un esquema S T , un objeto x de X ( T ) y un morfismo de haces de álgebras de x * ( A ) al anillo de coordenadas O ( T ) de T.

Si A es un haz cuasi-coherente de álgebras graduadas en una pila algebraica X sobre un esquema S , entonces hay una pila Proj( A ) que generaliza la construcción del esquema proyectivo Proj( A ) de un anillo graduado A.

• Mumford (1965) estudió la pila de módulos M _1,1 de curvas elípticas y demostró que su grupo de Picard es cíclico de orden 12. Para curvas elípticas sobre los números complejos, la pila correspondiente es similar a un cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular .
• El espacio de módulos de curvas algebraicas${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$definida como una familia universal de curvas suaves de género dado${\displaystyle g}$no existe como variedad algebraica porque, en particular, hay curvas que admiten automorfismos no triviales. Sin embargo, existe una pila de módulos. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$, que es un buen sustituto del espacio de módulos finos inexistente de género suave${\displaystyle g}$curvas. De forma más general, hay una pila de módulos.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$del género${\displaystyle g}$curvas con${\displaystyle n}$puntos marcados. En general, esta es una pila algebraica, y es una pila de Deligne-Mumford para${\displaystyle g\geq 2}$o ${\displaystyle g=1,n\geq 1}$o${\displaystyle g=0,n\geq 3}$(en otras palabras, cuando los grupos de automorfismos de las curvas son finitos). Esta pila de módulos tiene una completación que consiste en la pila de módulos de curvas estables (para un dado${\displaystyle g}$y${\displaystyle n}$), lo cual es apropiado sobre Spec Z. Por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$es la pila de clasificación${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$del grupo lineal general proyectivo . (Hay una sutileza en la definición${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$(ya que para construirlo hay que usar espacios algebraicos en lugar de esquemas).

Otra clase de espacios de módulos ampliamente estudiada son los espacios de módulos de Kontsevich que parametrizan el espacio de aplicaciones estables entre curvas de un género fijo y un espacio fijo.${\displaystyle X}$cuya imagen representa una clase de cohomología fija. Estos espacios de módulos se denotan ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

y pueden tener un comportamiento impredecible, como ser pilas reducibles cuyos componentes tienen dimensiones diferentes. Por ejemplo, ^{[ 3 ]} la pila de módulos

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

tiene curvas suaves parametrizadas por un subconjunto abierto${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$. En el límite del espacio de módulos, donde las curvas pueden degenerar en curvas reducibles, hay una subpila que parametriza curvas reducibles con un género${\displaystyle 0}$componente y un género${\displaystyle 1}$componente que se interseca en un punto, y el mapa envía el género${\displaystyle 1}$curva hasta un punto. Dado que todos esos géneros${\displaystyle 1}$Las curvas se parametrizan mediante${\displaystyle U}$y hay una adicional${\displaystyle 1}$elección dimensional de dónde se intersecan estas curvas en el género${\displaystyle 1}$curva, el componente de contorno tiene dimensión${\displaystyle 10}$.

• Una pila de Picard generaliza una variedad de Picard .
• La pila de módulos de leyes de grupo formales clasifica las leyes de grupo formales .
• Un esquema ind, como un espacio proyectivo infinito y un esquema formal, es una pila.
• En el programa geométrico de Langlands se utiliza una pila de módulos de shtukas . (Véase también shtukas ).

La construcción de espacios proyectivos ponderados implica tomar la variedad cociente de algunos${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$por un${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-acción. En particular, la acción envía una tupla

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

y el cociente de esta acción da el espacio proyectivo ponderado${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$. Dado que esto puede tomarse en cambio como un cociente de pila, la pila proyectiva ponderada ^{[ 4 ] pág. 30} es

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

Tomar el lugar geométrico de anulación de un polinomio ponderado en un fibrado de líneas${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$proporciona una variedad proyectiva ponderada apilada .

Las curvas apiladas , u orbicurvas, se pueden construir tomando el cociente de apilamiento de un morfismo de curvas por el grupo de monodromía de la cubierta sobre los puntos genéricos. Por ejemplo, tomemos un morfismo proyectivo

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

que es genéricamente étale . El cociente de pila del dominio por${\displaystyle \mu _{5}}$da un stacky${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$con puntos de apilamiento que tienen grupo estabilizador${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$en las quintas raíces de la unidad en el${\displaystyle x/y}$-gráfico. Esto se debe a que estos son los puntos donde se ramifica la cubierta.

Un ejemplo de una pila no afín viene dado por la semirrecta con dos orígenes apilados. Esto se puede construir como el colímite de dos inclusiones de${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$.