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En el análisis matemático , la paradoja de la escalera es un ejemplo patológico que muestra que los límites de las curvas no necesariamente conservan su longitud . [1] Consiste en una secuencia de cadenas poligonales "escaleras" en un cuadrado unitario , formadas a partir de segmentos de línea horizontales y verticales de longitud decreciente, de modo que estas escaleras convergen uniformemente a la diagonal del cuadrado. [2] Sin embargo, cada escalera tiene una longitud de dos, mientras que la longitud de la diagonal es la raíz cuadrada de 2 , por lo que la secuencia de longitudes de escalera no converge a la longitud de la diagonal. [3] [4] Martin Gardner llama a esto "una antigua paradoja geométrica". [5] Muestra que, para curvas bajo convergencia uniforme, la longitud de una curva no es una función continua de la curva. [6]
Para cualquier curva suave , las cadenas poligonales con longitudes de segmento decrecientes a cero, que conectan vértices consecutivos a lo largo de la curva, siempre convergen a la longitud del arco . El hecho de que las curvas en escalera no converjan a la longitud correcta se puede explicar por el hecho de que algunos de sus vértices no se encuentran en la diagonal. [7] En dimensiones superiores, la linterna de Schwarz proporciona un ejemplo análogo que muestra que las superficies poliédricas que convergen puntualmente a una superficie curva no necesariamente convergen a su área, incluso cuando todos los vértices se encuentran en la superficie. [8]
Además de destacar la necesidad de definiciones cuidadosas de la longitud del arco en la educación matemática, [9] la paradoja tiene aplicaciones en la geometría digital , donde motiva métodos de estimación del perímetro de formas pixeladas que no simplemente suman las longitudes de los límites entre píxeles. [10]
Véase también
- Paradoja de la línea costera , paradoja similar donde una aproximación de segmento recto diverge
- Aliasing , un fenómeno más general de imprecisiones causadas por la pixelación
- Escalera de Cantor , una curva fractal a lo largo de la diagonal de un cuadrado unitario
- Geometría del taxi , en la que las longitudes de las escaleras y de la diagonal son iguales
Referencias
- ^ Moscovich, Ivan (2006), Problemas de lógica en bucle y otros acertijos, Nueva York: Sterling Publishing, pág. 23, ISBN 9780486490694
- ^ Farrell, Margaret A. (febrero de 1975), "¿Un salto intuitivo o un lapsus no académico?", The Mathematics Teacher , 68 (2): 149–152, doi :10.5951/mt.68.2.0149, JSTOR 27960047
- ^ Sedaghat, H. (2022), Análisis real e infinito, Oxford University Press, pág. 9, ISBN 9780192895622
- ^ Stewart, Ian (2017), "Diagonal de un cuadrado", Infinito: una introducción muy breve , Oxford University Press, págs. 43 y 54, ISBN 9780191071515
- ^ Thompson, Silvanus P .; Gardner, Martin (1998), "Apéndice: Algunos problemas recreativos relacionados con el cálculo", Cálculo simplificado , Palgrave, págs. 296-325. Véase págs. 305–306.
- ^ Sinitsky, Ilya; Ilany, Bat-Sheva (2016), Cambio e invariancia: un libro de texto sobre la comprensión algebraica de números y formas, Sense Publishers, págs. 375-376, doi :10.1007/978-94-6300-699-6, ISBN 978-94-6300-699-6
- ^ Krantz, Steven G. (2010), "15.1: Cómo medir la longitud de una curva", Una historia episódica de las matemáticas: cultura matemática a través de la resolución de problemas , MAA Textbooks, Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. https://books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA249, ISBN 978-0-88385-766-3, Sr. 2604456
- ^ Ogilvy, C. Stanley (1962), "Nota a la página 7", La matemática del mañana: problemas sin resolver para aficionados , Oxford University Press, págs. 155-161
- ^ Bennett, Albert A. (10 de febrero de 1920), "Pruebas de límite en geometría", The Texas Mathematics Teachers' Bulletin , 5 (2): 12–22; véase especialmente la pág. 16
- ^ Klette, Reinhard; Yip, Ben (2000), "La longitud de las curvas digitales", Machine Graphics and Vision , 9 (3): 673–703
Enlaces externos
- Una breve nota: Ampliando la paradoja de la escalera