Orientación (espacio vectorial)

El concepto de orientación degenera en el caso cero-dimensional. Un espacio vectorial cero-dimensional tiene un solo punto, el vector cero. En consecuencia, la única base de un espacio vectorial cero-dimensional es el conjunto vacío.${\displaystyle \emptyset }$Por lo tanto, existe una única clase de equivalencia de bases ordenadas, a saber, la clase${\displaystyle \{\emptyset \}}$cuyo único miembro es el conjunto vacío . Esto significa que una orientación de un espacio cero-dimensional es una función $${\displaystyle \{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.}$$ Por lo tanto, es posible orientar un punto de dos maneras diferentes: positiva y negativa.

Porque solo hay una única base ordenada${\displaystyle \emptyset }$, un espacio vectorial cero-dimensional es lo mismo que un espacio vectorial cero-dimensional con base ordenada. Eligiendo${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$o${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$Por lo tanto, se elige una orientación para cada base de cada espacio vectorial de dimensión cero. Si a todos los espacios vectoriales de dimensión cero se les asigna esta orientación, entonces, dado que todos los isomorfismos entre espacios vectoriales de dimensión cero preservan la base ordenada, también preservan la orientación. Esto difiere del caso de los espacios vectoriales de dimensiones superiores, donde no hay forma de elegir una orientación que se preserve bajo todos los isomorfismos.

Sin embargo, existen situaciones en las que es deseable asignar orientaciones diferentes a distintos puntos. Por ejemplo, consideremos el teorema fundamental del cálculo como un ejemplo del teorema de Stokes . Un intervalo cerrado [ a , b ] es una variedad unidimensional con frontera , y su frontera es el conjunto { a , b } . Para obtener el enunciado correcto del teorema fundamental del cálculo, el punto b debe orientarse positivamente, mientras que el punto a debe orientarse negativamente.

El caso unidimensional trata de una línea orientada (o línea dirigida ), que puede recorrerse en una de dos direcciones. En el espacio de coordenadas reales , una línea orientada también se conoce como eje . ^{[ 3 ]} Hay dos orientaciones para una línea (hacia adelante y hacia atrás) al igual que hay dos orientaciones para un círculo orientado (en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj). Una línea orientada semiinfinita se llama rayo (a veces también semieje o semilínea orientada ). En el caso de un segmento de línea (un subconjunto conectado de una línea), las dos orientaciones posibles dan como resultado segmentos de línea dirigidos .

Una superficie orientable a veces tiene la orientación seleccionada indicada por la orientación de una normal de superficie . Un plano orientado puede definirse mediante un pseudovector .

Para cualquier espacio vectorial real n -dimensional V podemos formar la k -ésima potencia exterior de V , denotada Λ ^k V . Este es un espacio vectorial real de dimensión${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$El espacio vectorial Λ ⁿ V (llamado potencia exterior superior ) tiene, por lo tanto, dimensión 1. Es decir, Λ ⁿ V es simplemente una línea real. No hay una elección a priori sobre qué dirección en esta línea es positiva. Una orientación es precisamente esa elección. Cualquier forma lineal no nula ω en Λ ⁿ V determina una orientación de V al declarar que x está en la dirección positiva cuando ω ( x ) > 0. Para conectar con el punto de vista de la base, decimos que las bases orientadas positivamente son aquellas en las que ω se evalúa a un número positivo (ya que ω es una n -forma, podemos evaluarla en un conjunto ordenado de n vectores, dando un elemento de R ). La forma ω se llama forma de orientación . Si { e _i } es una base privilegiada para V y { e _i ^∗ } es la base dual , entonces la forma de orientación que da la orientación estándar es e ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗ .

La conexión de esto con el punto de vista determinante es: el determinante de un endomorfismo${\displaystyle T:V\to V}$puede interpretarse como la acción inducida sobre la potencia exterior superior.

Sea B el conjunto de todas las bases ordenadas para V. Entonces, el grupo lineal general GL( V ) actúa libre y transitivamente sobre B. (En lenguaje elegante, B es un GL( V ) -torsor ). Esto significa que, como variedad , B es (no canónicamente) homeomorfo a GL( V ). Nótese que el grupo GL( V ) no es conexo , sino que tiene dos componentes conexas según si el determinante de la transformación es positivo o negativo (excepto GL₀ _, que es el grupo trivial y, por lo tanto, tiene una sola componente conexa; esto corresponde a la orientación canónica en un espacio vectorial cero-dimensional). La componente identidad de GL( V ) se denota GL⁺ ⁽ V ) y consiste en aquellas transformaciones con determinante positivo. La acción de GL⁺ ⁽ V ) sobre B no es transitiva: hay dos órbitas que corresponden a las componentes conexas de B. Estas órbitas son precisamente las clases de equivalencia a las que se hizo referencia anteriormente. Dado que B no posee un elemento distinguido (es decir, una base privilegiada), no existe una elección natural de qué componente es positivo. Compárese esto con GL( V ), que sí posee un componente privilegiado: el componente de la identidad. Una elección específica de homeomorfismo entre B y GL( V ) equivale a la elección de una base privilegiada y, por lo tanto, determina una orientación.

De forma más formal:${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}}$y la variedad de Stiefel de n -marcos en${\displaystyle V}$es un${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$- torsor , así que${\displaystyle V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}$es un torsor sobre${\displaystyle \{\pm 1\}}$, es decir, sus 2 puntos, y la elección de uno de ellos es una orientación.

Los diversos objetos del álgebra geométrica poseen tres atributos o características : actitud, orientación y magnitud. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, un vector tiene una actitud dada por una línea recta paralela a él, una orientación dada por su sentido (a menudo indicado por una punta de flecha) y una magnitud dada por su longitud. De manera similar, un bivector en tres dimensiones tiene una actitud dada por la familia de planos asociados a él (posiblemente especificada por la línea normal común a estos planos ^{[ 6 ]} ), una orientación (a veces denotada por una flecha curva en el plano) que indica una elección del sentido de recorrido de su frontera (su circulación ), y una magnitud dada por el área del paralelogramo definido por sus dos vectores. ^{[ 7 ]}