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Articulo de referencia

Puntuación estándar

Comparación de los distintos métodos de calificación en una distribución normal , incluyendo: desviaciones estándar , porcentajes acumulados, equivalentes de percentiles , puntu...

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Comparación de los distintos métodos de calificación en una distribución normal , incluyendo: desviaciones estándar , porcentajes acumulados, equivalentes de percentiles , puntuaciones z, puntuaciones T.

En estadística , la puntuación estándar o puntuación z indica el número de desviaciones estándar que separan el valor de una puntuación bruta (es decir, un valor observado o dato) de la media de lo observado o medido. Las puntuaciones brutas superiores a la media tienen puntuaciones estándar positivas, mientras que las inferiores tienen puntuaciones estándar negativas.

Se calcula restando la media poblacional a la puntuación bruta individual y dividiendo la diferencia entre la desviación estándar poblacional . Este proceso de convertir una puntuación bruta en una puntuación estándar se denomina estandarización o normalización (sin embargo, "normalización" puede referirse a muchos tipos de razones; consulte Normalización para obtener más información).

Las puntuaciones estándar se denominan comúnmente puntuaciones z ; ambos términos pueden usarse indistintamente, como se hace en este artículo. Otros términos equivalentes utilizados en física de altas energías incluyen valor z , estadístico z , puntuación normal , variable estandarizada y atracción . [ 1 ] [ 2 ]

El cálculo de una puntuación z requiere conocer la media y la desviación estándar de la población completa a la que pertenece un punto de datos; si solo se dispone de una muestra de observaciones de la población, entonces el cálculo análogo utilizando la media de la muestra y la desviación estándar de la muestra produce el estadístico t .

Cálculo

Si se conocen la media poblacional y la desviación estándar poblacional, una puntuación bruta x se convierte en una puntuación estándar mediante [ 3 ].

z=incógnita−μσ{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}

dónde:

El valor absoluto de z representa la distancia entre la puntuación bruta x y la media poblacional en unidades de desviación estándar. z es negativo cuando la puntuación bruta está por debajo de la media y positivo cuando está por encima.

Para calcular z mediante esta fórmula, se requiere utilizar la media poblacional y la desviación estándar poblacional, no la media muestral ni la desviación muestral. Sin embargo, conocer la media y la desviación estándar reales de una población suele ser poco realista, salvo en casos como las pruebas estandarizadas , donde se mide a toda la población.

Cuando se desconocen la media poblacional y la desviación estándar poblacional, la puntuación estándar puede estimarse utilizando la media muestral y la desviación estándar muestral como estimaciones de los valores poblacionales. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

En estos casos, la puntuación z viene dada por

z=incógnita−incógnita¯S{\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}

dónde:

Aunque siempre debería aclararse, a menudo no se distingue entre el uso de estadísticas poblacionales y muestrales. En ambos casos, el numerador y el denominador de las ecuaciones tienen las mismas unidades de medida, de modo que las unidades se cancelan mediante la división y z queda como una magnitud adimensional .

Aplicaciones

Prueba Z

La puntuación z se utiliza frecuentemente en la prueba z de las pruebas estandarizadas; es el equivalente a la prueba t de Student para una población cuyos parámetros se conocen, en lugar de estimarse. Dado que es muy poco común conocer la población completa, la prueba t se utiliza con mucha más frecuencia.

Intervalos de predicción

La puntuación estándar se puede utilizar en el cálculo de intervalos de predicción . Un intervalo de predicción [ L , U ] , que consta de un extremo inferior designado L y un extremo superior designado U , es un intervalo tal que una observación futura X estará en el intervalo con alta probabilidad.γ{\displaystyle \gamma }, es decir

Pr(L<incógnita<U)=γ,{\displaystyle \Pr(L<X<U)=\gamma,}

Para la puntuación estándar Z de X se obtiene: [ 8 ]Pr(L−μσ<Z<U−μσ)=γ.{\displaystyle \Pr {\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)}=\gamma .} Al determinar el cuantil z tal que Pr(−z<Z<z)=γ{\displaystyle \Pr \left(-z<Z<z\right)=\gamma } A continuación: L=μ−zσ, U=μ+zσ{\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }

Control de procesos

En las aplicaciones de control de procesos, el valor Z proporciona una evaluación del grado en que un proceso se desvía de los parámetros previstos.

Comparación de puntuaciones medidas en diferentes escalas: ACT y SAT

La puntuación z del estudiante A fue de 1, lo que significa que el estudiante A se encontraba una desviación estándar por encima de la media. Por lo tanto, el estudiante A obtuvo un resultado en el percentil 84,13 en el SAT.

Cuando las puntuaciones se miden en diferentes escalas, se pueden convertir a puntuaciones z para facilitar la comparación. Dietz et al. [ 9 ] ofrecen el siguiente ejemplo, comparando las puntuaciones de los estudiantes en las antiguas pruebas SAT y ACT de bachillerato. La tabla muestra la media y la desviación estándar de las puntuaciones totales en el SAT y el ACT. Supongamos que el estudiante A obtuvo 1800 en el SAT y el estudiante B obtuvo 24 en el ACT. ¿Qué estudiante tuvo un mejor desempeño en relación con los demás examinados?

La puntuación z del estudiante B fue de 0,6, lo que significa que el estudiante B se situó 0,6 desviaciones estándar por encima de la media. Por lo tanto, el estudiante B obtuvo una puntuación en el percentil 72,57 en el SAT.

La puntuación z para el estudiante A esz=incógnita−μσ=1800−1500300=1{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {1800-1500}{300}}=1}

La puntuación z para el estudiante B esz=incógnita−μσ=24−215=0,6{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {24-21}{5}}=0,6}

Debido a que el estudiante A tiene una puntuación z más alta que el estudiante B, el estudiante A obtuvo mejores resultados en comparación con los demás examinados que el estudiante B.

Porcentaje de observaciones por debajo de una puntuación z

Siguiendo con el ejemplo de las puntuaciones del ACT y el SAT, si se puede asumir además que ambas puntuaciones siguen una distribución normal (lo cual es aproximadamente correcto), entonces las puntuaciones z se pueden utilizar para calcular el porcentaje de examinados que obtuvieron puntuaciones más bajas que los estudiantes A y B.

Análisis de clústeres y escalamiento multidimensional

"Para algunas técnicas multivariadas, como el escalamiento multidimensional y el análisis de conglomerados, el concepto de distancia entre las unidades de los datos suele ser de considerable interés e importancia… Cuando las variables de un conjunto de datos multivariados están en escalas diferentes, tiene más sentido calcular las distancias después de algún tipo de estandarización." [ 10 ]

Análisis de componentes principales

En el análisis de componentes principales , "las variables medidas en diferentes escalas o en una escala común con rangos muy diferentes a menudo se estandarizan". [ 11 ]

Importancia relativa de las variables en la regresión múltiple: coeficientes de regresión estandarizados

La estandarización de variables antes del análisis de regresión múltiple se utiliza a veces como ayuda para la interpretación. [ 12 ] (página 95) afirman lo siguiente.

"La pendiente de regresión estandarizada es la pendiente en la ecuación de regresión si X e Y están estandarizadas... La estandarización de X e Y se realiza restando las medias respectivas de cada conjunto de observaciones y dividiendo por las desviaciones estándar respectivas... En la regresión múltiple, donde se utilizan varias variables X, los coeficientes de regresión estandarizados cuantifican la contribución relativa de cada variable X."

Sin embargo, Kutner et al. [ 13 ] (p. 278) hacen la siguiente advertencia: «…hay que tener cuidado al interpretar cualquier coeficiente de regresión, ya sea estandarizado o no. La razón es que cuando las variables predictoras están correlacionadas entre sí, …los coeficientes de regresión se ven afectados por las demás variables predictoras del modelo… Las magnitudes de los coeficientes de regresión estandarizados se ven afectadas no solo por la presencia de correlaciones entre las variables predictoras, sino también por la distancia entre las observaciones de cada una de estas variables. A veces, esta distancia puede ser bastante arbitraria. Por lo tanto, normalmente no es prudente interpretar las magnitudes de los coeficientes de regresión estandarizados como un reflejo de la importancia comparativa de las variables predictoras».

Estandarización en estadística matemática

En estadística matemática , una variable aleatoria X se estandariza restándole su valor esperado.mi⁡[incógnita]{\displaystyle \operatorname {E} [X]}y dividiendo la diferencia por su desviación estándarσ(incógnita)=Var⁡(incógnita){\textstyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}:

Z=incógnita−mi⁡[incógnita]σ(incógnita){\displaystyle Z={\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma (X)}}}

Si la variable aleatoria en consideración es la media muestral de una muestra aleatoria incógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}de X :

incógnita¯=1norte∑i=1norteincógnitai{\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

entonces la versión estandarizada es

Z=incógnita¯−mi⁡[incógnita¯]σ(incógnita)/norte{\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}

Donde la varianza de la media muestral estandarizada se calculó de la siguiente manera:

Var⁡(∑iincógnitai)=∑iVar⁡(incógnitai)=norteVar⁡(incógnitai)=norteσ2Var⁡(incógnita¯)=Var⁡(∑iincógnitainorte)=1norte2Var⁡(∑iincógnitai)=norteσ2norte2=σ2norte{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\[1ex]\textstyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)={\dfrac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)={\dfrac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\dfrac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}}

Puntuación T

En la evaluación educativa, la puntuación T es una puntuación estándar desplazada Z y escalada para tener una media de 50 y una desviación estándar de 10. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] También se conoce como hensachi en japonés, donde el concepto es mucho más conocido y utilizado en el contexto de la admisión a la escuela secundaria y la universidad. [ 17 ]

En la medición de la densidad ósea , la puntuación T es la puntuación estándar de la medición en comparación con la población de adultos sanos de 30 años, y tiene una media habitual de 0 y una desviación estándar de 1. [ 18 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Mulders, Martijn; Zanderighi, Giulia, eds. (2017). Escuela Europea de Física de Altas Energías 2015: Bansko, Bulgaria, 2-15 de septiembre de 2015. Informes Amarillos del CERN: Actas de la Escuela. Ginebra: CERN. ISBN 978-92-9083-472-4.
  2. ↑ Gross, Eilam (2017-11-06). "Practical Statistics for High Energy Physics" . CERN Yellow Reports: School Proceedings . 4/2017: 165–186 . doi : 10.23730/CYRSP-2017-004.165 .
  3. ↑ E. Kreyszig (1979). Matemáticas avanzadas para ingeniería (Cuarta ed.). Wiley. pág. 880, ec. 5. ISBN   0-471-02140-7.
  4. ↑ Spiegel, Murray R.; Stephens, Larry J (2008), Schaum's Outlines Statistics (Cuarta ed.), McGraw Hill, ISBN  978-0-07-148584-5
  5. ↑ Mendenhall, William; Sincich, Terry (2007), Estadística para ingeniería y ciencias (Quinta ed.), Pearson / Prentice Hall, ISBN  978-0131877061
  6. ↑ Glantz, Stanton A.; Slinker, Bryan K.; Neilands, Torsten B. (2016), Primer of Applied Regression & Analysis of Variance (Tercera ed.), McGraw Hill, ISBN  978-0071824118
  7. ↑ Aho, Ken A. (2014), Estadística fundamental y aplicada para biólogos (Primera ed.), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN  978-1439873380
  8. ↑ E. Kreyszig (1979). Matemáticas avanzadas para ingeniería (Cuarta ed.). Wiley. pág. 880, ec. 6. ISBN   0-471-02140-7.
  9. ↑ Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), OpenIntro Statistics (Segunda edición), openintro.org 
  10. ↑ Everitt, Brian; Hothorn, Torsten J (2011), An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R , Springer, pp. 14– 15, ISBN  978-1441996497
  11. ↑ Johnson, Richard; Wichern, Wichern (2007), Análisis estadístico multivariante aplicado , Pearson / Prentice Hall
  12. ↑ Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K.; Clark, Virginia A. (2012), Análisis multivariante práctico (Quinta ed.), Chapman & Hall/CRC, ISBN  978-1439816806
  13. ↑ Kutner, Michael; Nachtsheim, Christopher; Neter, John (204), Modelos de regresión lineal aplicada (Cuarta ed.), McGraw Hill, ISBN  978-0073014661{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  14. ↑ John Salvia; James Ysseldyke; Sara Witmer (29 de enero de 2009). Evaluación: En educación especial e inclusiva . Cengage Learning. págs. 43–. ISBN  978-0-547-13437-6.
  15. ↑ Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (1 de enero de 2014). Fundamentos de las pruebas y la evaluación: Una guía práctica para consejeros, trabajadores sociales y psicólogos . Cengage Learning. págs. 133–. ISBN  978-1-305-16183-2.
  16. ↑ Kamphaus, Randy W. (16 de agosto de 2005). Evaluación clínica de la inteligencia infantil y adolescente (2.ª ed.). Springer. pág. 123. doi : 10.1007/978-0-387-29149-9 . ISBN   978-0-387-26299-4.
  17. ↑ Goodman, Roger; Oka, Chinami (2018-09-03). "La invención, el juego y la persistencia del hensachi ('puntuación de rango estandarizada') en la educación japonesa" . Oxford Review of Education . 44 (5): 581– 598. doi : 10.1080/03054985.2018.1492375 . ISSN 0305-4985 . JSTOR 26836035 .  
  18. ↑ "Medición de la masa ósea: qué significan los números" . Centro Nacional de Recursos sobre Osteoporosis y Enfermedades Óseas Relacionadas de los NIH . Institutos Nacionales de Salud . Consultado el 5 de agosto de 2017 .

Lecturas adicionales

  • Carroll, Susan Rovezzi; Carroll, David J. (2002). Estadística simplificada para líderes escolares (  edición ilustrada). Rowman & Littlefield. ISBN 978-0-8108-4322-6Consultado el 7 de junio de 2009 .
  • Larsen, Richard J.; Marx, Morris L. (2000). Introducción a la estadística matemática y sus aplicaciones (Tercera  ed.). Prentice Hall. pág.  282. ISBN 0-13-922303-7.
  • calculadora de puntuación z