Hispanopedia WikiEn geometría , un poliedro estrellado es un poliedro que posee alguna cualidad repetitiva de no convexidad que le confiere una apariencia visual similar a la de una estrella.
Existen dos tipos generales de poliedros estrellados:
- Poliedros que se autointersecan de forma repetitiva.
- Poliedros cóncavos de un tipo particular que alternan vértices convexos y cóncavos o en forma de silla de montar de manera repetitiva. Matemáticamente, estas figuras son ejemplos de dominios estrellados .
Los estudios matemáticos de poliedros estrellados suelen centrarse en poliedros regulares y uniformes , o en sus duales . Todos estos poliedros estrellados son del tipo que se autointerseca.
Poliedros estrellados que se autointersecan
poliedros estrellados regulares
Los poliedros estrellados regulares son poliedros que se autointersecan. Pueden tener caras que se autointersecan o figuras de vértices que se autointersecan .
Existen cuatro poliedros estrellados regulares , conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . El símbolo de Schläfli { p , q } implica caras con p lados y figuras de vértice con q lados. Dos de ellos tienen caras pentagramáticas {5/2} y dos tienen figuras de vértice pentagramáticas.
También existen infinitos diedros y hosoedros estelares regulares {2, p/q } y { p/q , 2} para cualquier polígono estelar { p/q }. Si bien son degenerados en el espacio euclidiano, pueden representarse esféricamente en forma no degenerada.
poliedros de doble estrella uniformes y uniformes
Hay muchos poliedros estelares uniformes, incluyendo dos series infinitas, de prismas y de antiprismas , y sus duales .
Los poliedros estrellados uniformes y doblemente uniformes también son poliedros que se autointersecan. Pueden tener caras que se autointersecan, figuras de vértices que se autointersecan o ambas cosas.
Los poliedros estrellados uniformes tienen caras regulares o caras de polígonos estrellados regulares . Los poliedros estrellados uniformes duales tienen caras regulares o figuras de vértices de polígonos estrellados regulares .
Estelaciones y facetas
Más allá de las formas mencionadas anteriormente, existen clases ilimitadas de poliedros (estrellados) que se autointersecan.
Dos clases importantes son las estelaciones de poliedros convexos y sus duales, las facetas de los poliedros duales.
Por ejemplo, la estelación completa del icosaedro (ilustrado) puede interpretarse como un poliedro autointersecante compuesto por 20 caras idénticas, cada una un polígono enrollado (9/4). A continuación se muestra una ilustración de este poliedro con una cara dibujada en amarillo.
politopos estrellados
Un politopo que se autointerseca de forma similar en cualquier número de dimensiones se denomina politopo estrella .
Un politopo regular { p , q , r ,..., s , t } es un politopo estrella si su faceta { p , q ,... s } o su figura de vértice { q , r ,..., s , t } es un politopo estrella.
En cuatro dimensiones, los 10 policoros estrellados regulares se denominan policoros de Schläfli-Hess . De forma análoga a los poliedros estrellados regulares, estos 10 están compuestos por facetas que son uno de los cinco sólidos platónicos regulares o uno de los cuatro poliedros estrellados regulares de Kepler-Poinsot .
Por ejemplo, la gran estrella de 120 celdas , proyectada ortogonalmente en el espacio tridimensional, tiene este aspecto:
No existen politopos estelares regulares en dimensiones superiores a 4 .
poliedros estelares del dominio estelar
Un poliedro que no se cruza a sí mismo, de modo que todo su interior puede verse desde un único punto interior, es un ejemplo de dominio estelar . Las porciones exteriores visibles de muchos poliedros estelares que se intersecan a sí mismos forman los límites de los dominios estelares, pero a pesar de su apariencia similar, como poliedros abstractos se trata de estructuras diferentes. Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras pentagonales, pero el dominio estelar correspondiente tiene 60 caras triangulares isósceles y, por consiguiente, un número diferente de vértices y aristas.
Los dominios estelares poliédricos aparecen en diversos tipos de arquitectura, generalmente de carácter religioso. Por ejemplo, se observan en muchas iglesias barrocas como símbolos del Papa que las construyó, en iglesias húngaras y en otros edificios religiosos. Estas estrellas también pueden utilizarse como elementos decorativos. Las estrellas de Moravia se emplean con ambos fines y pueden construirse en diversas formas.
Véase también
Referencias
- Coxeter, HSM , MS Longuet-Higgins y JCP Miller, Poliedros uniformes, Phil. Trans. 246 A (1954) págs. 401–450.
- Coxeter, HSM, Politopos regulares , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8(VI. Poliedros estrellados, XIV. Politopos estrellados) (pág. 263)
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 26, Politopos estelares regulares, págs. 404–408)
- Tarnai, T., Krähling, J. y Kabai, S.; "Poliedros estrellados: de la Basílica de San Marcos en Venecia a las iglesias protestantes húngaras", Artículo ID209, Actas del IASS 2007, Estructuras de cáscara y espaciales: arquitectura estructural - hacia el futuro mirando al pasado , Universidad IUAV, 2007.Archivado el 29/11/2010 en Wayback Machine.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polyedro estrellado" . MathWorld .
- Poliedros