Número de estrella

En matemáticas , un número estrella es un número figurado centrado , un hexagrama centrado (estrella de seis puntas), como la Estrella de David , o el tablero en el que se juega a las damas chinas . Estos números también se denominan números dodecagonales centrados porque son números poligonales centrados con forma de doce lados .

El n -ésimo número de estrella viene dado por la fórmula S _n = 6 n ( n − 1) + 1. Los primeros 45 números de estrella son 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, 11353 y 11881. (secuencia A003154 en el OEIS )

La raíz digital de un número estrella siempre es 1 o 4, y progresa en la secuencia 1, 4, 1. Los dos últimos dígitos de un número estrella en base 10 siempre son 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 o 93.

El 35113 es único entre los números estelares, ya que sus factores primos (es decir, 13, 37 y 73) también son números estelares consecutivos.

Geométricamente, el n -ésimo número estrella está compuesto por un punto central y 12 copias del ( n -1)-ésimo número triangular , lo que lo hace numéricamente igual al n -ésimo número dodecagonal centrado , pero dispuesto de manera diferente. Por lo tanto , la fórmula del n -ésimo número estrella se puede escribir como S _n = 1 + 12 T _{n - 1} donde T _n = n ( n + 1) / 2 .

Infinitos números estrella son también números triangulares , siendo los cuatro primeros S ₁ = 1 = T ₁ , S ₇ = 253 = T ₂₂ , S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃ , y S ₁₂₆₁ = 9533161 = T ₄₃₆₆ (secuencia A156712 en el OEIS ) .

Infinitos números estelares también son números cuadrados , siendo los cuatro primeros S ₁ = 1 ² , S ₅ = 121 = 11 ² , S ₄₅ = 11881 = 109 ² , y S ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ² (secuencia A054318 en el OEIS ) , para estrellas cuadradas (secuencia A006061 en el OEIS ) .

Un primo estrella es un número estrella que es primo . Los primeros primos estrella (secuencia A083577 en la OEIS ) son 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937.

Un número primo superestrella es un número primo estrella cuyo índice primo también es un número estrella. Los dos primeros números de este tipo son 661 y 1750255921.

Un número primo superestrella inverso es un número estrella cuyo índice es un número primo estrella. Los primeros números de este tipo son 937, 7993, 31537, 195481, 679393, 1122337, 1752841, 2617561, 5262193.

El término "número estrella" o "número estrellado" se utiliza ocasionalmente para referirse a números octogonales . ^{[ 1 ]}

La serie armónica de fracciones unitarias con los números estrella como denominadores es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}+{\frac {1}{337}}+\cdots \\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\tan({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}}$$

La serie alternada de fracciones unitarias con los números estrella como denominadores es: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&(-1)^{n-1}{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}-{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}-{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}-{\frac {1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}}$$

• Número hexagonal centrado