Estado (análisis funcional)

En el campo matemático del análisis funcional , un estado de un sistema de operadores es un funcional lineal positivo de norma 1. Los estados en el análisis funcional generalizan la noción de matrices de densidad en mecánica cuántica, que representan estados cuánticos , tanto mixtos como puros . Las matrices de densidad, a su vez, generalizan los vectores de estado , que solo representan estados puros. Para M un sistema de operadores en un álgebra C* -A con identidad, el conjunto de todos los estados de M, a veces denotado por S( M ), es convexo y débilmente cerrado en el espacio dual de Banach M ^* . Por lo tanto, el conjunto de todos los estados de M con la topología débilmente cerrada forma un espacio de Hausdorff compacto, conocido como el espacio de estados de M. En la formulación algebraica C* de la mecánica cuántica, los estados en este sentido anterior corresponden a estados físicos, es decir, aplicaciones de observables físicos (elementos autoadjuntos del álgebra C*) a su resultado de medición esperado (número real).

descomposición de Jordan

Los estados pueden verse como generalizaciones no conmutativas de medidas de probabilidad . Por representación de Gelfand , toda C*-álgebra conmutativa A es de la forma C ₀ ( X ) para algún Hausdorff X localmente compacto . En este caso, S ( A ) consiste en medidas de Radon positivas en X , y los estados puros son los funcionales de evaluación en X .

De forma más general, la construcción GNS muestra que cada estado es, después de elegir una representación adecuada, un estado vectorial .

Se dice que un funcional lineal acotado en un álgebra C* -A es autoadjunto si tiene valores reales en los elementos autoadjuntos de A. Los funcionales autoadjuntos son análogos no conmutativos de las medidas con signo .

La descomposición de Jordan en la teoría de la medida establece que toda medida con signo puede expresarse como la diferencia de dos medidas positivas con soporte en conjuntos disjuntos. Esto puede extenderse al contexto no conmutativo.

Teorema — Todo autoadjunto $f$ en $A^{\ast }$ se puede escribir como $f=f_{+}-f_{-}$ dónde $f_{+}$ y $f_{-}$ son funcionales positivos y $\Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert$ .

Prueba

Una demostración puede esbozarse de la siguiente manera: Sea $\Omega$ sea el conjunto débil*-compacto de funcionales lineales positivos en $A$ con norma ≤ 1 y $C(\Omega )$ sean las funciones continuas en $\Omega$ .

$A$ puede verse como un subespacio lineal cerrado de $C(\Omega )$ (esta es la representación de la función de Kadison ). Por Hahn-Banach, $f$ se extiende a un $g$ en $C(\Omega )^{\ast }$ con $\Vert g\Vert =\Vert f\Vert$ .

Utilizando los resultados de la teoría de la medida citados anteriormente, se tiene:

$g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu$

donde, por la autoadjuntividad de $f$ , $\mu$ puede tomarse como una medida firmada. Escriba:

$\mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;$

una diferencia de medidas positivas. Las restricciones de los funcionales $\textstyle \int \cdot \;d\mu _ {+}$ y $\textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}$ a $A$ tiene las propiedades requeridas de $f_{+}$ y $f_{-}$ Esto demuestra el teorema.

De la descomposición anterior se deduce que A* es el intervalo lineal de estados.

Algunas clases importantes de estados

Estados puros

Según el teorema de Krein-Milman , el espacio de estados de M tiene puntos extremos . Los puntos extremos del espacio de estados se denominan estados puros y los demás estados se conocen como estados mixtos .

Estados vectoriales

Para un espacio de Hilbert H y un vector x en H , la fórmula ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ (para T en B(H) ) define un funcional lineal positivo en B(H) . Como ω _x ( 1 )=|| x || ² , ω _x es un estado si || x ||=1. Si A es una C*-subálgebra de B(H) y M un sistema de operadores en A , entonces la restricción de ω _x a M define un funcional lineal positivo en M . Los estados de M que surgen de esta manera, a partir de vectores unitarios en H , se denominan estados vectoriales de M .

Estados fieles

Un estado $\tau$ es fiel , si $\tau (a^{*}a)=0$ implica $a=0$ .

Estados normales

Un estado $\tau$ se llama normal , si y solo si para cada red monótona creciente $H_{\alpha }$ de operadores con límite superior mínimo $H$ , $\tau (H_{\alpha })\;$ converge a $\tau (H)\;$ .

Estados traza

Un estado trazacional es un estado $\tau$ de tal manera que

\tau (AB)=\tau (BA)\;.

Para cualquier C*-álgebra separable, el conjunto de estados trazales es un simplex de Choquet .

Estados factoriales

Un estado factorial de un álgebra C* A es un estado tal que el conmutador de la representación GNS correspondiente de A es un factor .

Véase también

Referencias

Lin, H. (2001), Introducción a la clasificación de las C*-álgebras amenables , World Scientific