Modelo de Arrow-Debreu

En economía matemática , el modelo de Arrow-Debreu es un modelo teórico de equilibrio general . Postula que, bajo ciertos supuestos económicos ( preferencias convexas , competencia perfecta e independencia de la demanda), debe existir un conjunto de precios tal que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada de cada bien en la economía. ^{[ 1 ]}

El modelo es fundamental para la teoría del equilibrio general (económico) y se utiliza como referencia general para otros modelos microeconómicos. Fue propuesto por Kenneth Arrow y Gérard Debreu en 1954, ^{[ 1 ]} y por Lionel W. McKenzie de forma independiente en 1954, ^{[ 2 ]} con mejoras posteriores en 1959. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

El modelo AD es uno de los modelos más generales de economía competitiva y una parte crucial de la teoría del equilibrio general , ya que puede utilizarse para demostrar la existencia de un equilibrio general (o equilibrio walrasiano ) en una economía. En general, pueden existir múltiples equilibrios.

Arrow (1972) y Debreu (1983) recibieron por separado el Premio Nobel de Economía por el desarrollo del modelo. McKenzie, sin embargo, no recibió el premio. ^{[ 5 ]}

Declaración formal

El contenido de ambos teoremas [teoremas fundamentales de la economía del bienestar] se basa en creencias antiguas de la economía. Arrow y Debreu han abordado recientemente esta cuestión con técnicas que permiten realizar demostraciones.

— Gérard Debreu, Equilibrio de valoración y óptimo de Pareto (1954)

Esta afirmación es totalmente correcta; antes existían creencias, ahora existía conocimiento. El modelo de Arrow-Debreu, tal como se expone en la Teoría del Valor, transformó el pensamiento fundamental y rápidamente se convirtió en el modelo estándar de la teoría de precios. Es el modelo de referencia en finanzas, comercio internacional, finanzas públicas, transporte e incluso macroeconomía. En poco tiempo, dejó de ser «como en Marshall, Hicks y Samuelson» para convertirse en «como en la Teoría del Valor».

— Hugo Sonnenschein, comentarios en la conferencia de Debreu, Berkeley, 2005

Esta sección sigue la presentación en ^{[ 6 ]} que se basa en ^{[ 7 ] .}

Descripción intuitiva del modelo de Arrow-Debreu

El modelo de Arrow-Debreu representa una economía como una combinación de tres tipos de agentes: los hogares, los productores y el mercado. Los hogares y los productores realizan transacciones con el mercado, pero no entre sí directamente.

Los hogares poseen un patrimonio inicial (conjuntos de bienes con los que comienzan), que puede considerarse como una "herencia". Para mayor claridad matemática, todos los hogares deben vender todo su patrimonio en el mercado al inicio. Si desean conservar parte de él, deberán recomprarlo posteriormente. Este patrimonio puede consistir en horas de trabajo, uso de la tierra, toneladas de maíz, etc.

Los hogares poseen participaciones proporcionales de productores, que pueden considerarse como sociedades anónimas . El beneficio obtenido por el productor $j$ se divide entre los hogares en proporción a la cantidad de existencias que cada hogar posee para el productor. $j$ La propiedad se impone inicialmente, y los hogares no pueden venderlos, comprarlos, crearlos ni desecharlos.

Los hogares reciben un presupuesto, ingresos por la venta de bienes y dividendos por las ganancias de los productores. Los hogares tienen preferencias sobre cestas de bienes, lo que, bajo los supuestos dados, los convierte en maximizadores de utilidad . Los hogares eligen el plan de consumo con la mayor utilidad que pueden permitirse con su presupuesto.

Los productores pueden transformar cestas de bienes en otras cestas de bienes. Los productores no tienen funciones de utilidad separadas. En cambio, todos buscan maximizar sus beneficios.

El mercado solo es capaz de «elegir» un vector de precios, que es una lista de precios para cada producto, que cada productor y hogar acepta (no hay negociación: cada productor y hogar es un tomador de precios ). El mercado no tiene utilidad ni beneficio. En cambio, el mercado busca elegir un vector de precios tal que, aunque cada hogar y productor maximice su utilidad y beneficio, sus planes de consumo y producción se «armonicen». Es decir, « el mercado se equilibra ». En otras palabras, el mercado actúa como un « subastador walrasiano ».

Configuración de notación

En general, escribimos los índices de los agentes como superíndices y los índices de las coordenadas vectoriales como subíndices.

Notaciones útiles para vectores reales

$x\succeq y$ si $\forall n,x_{n}\geq y_ {n}$
$\mathbb {R} _{+}^{N}$ es el conjunto de $x$ de tal manera que $x\succeq 0$
$\mathbb {R} _{++}^{N}$ es el conjunto de $x$ de tal manera que $x\succ 0$
$\Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}$ es el N-símplex . A menudo lo llamamos el símplex de precios, ya que a veces escalamos el vector de precios para que se encuentre sobre él.

mercado

Las materias primas están indexadas como $n\in 1:N$ . Aquí $N$ es el número de bienes en la economía. Es un número finito.
El vector de precios $p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ es un vector de longitud $N$ donde cada coordenada representa el precio de una mercancía. Los precios pueden ser cero o positivos.

hogares

Los hogares se indexan como $i\in I$ .
Cada hogar comienza con una dotación de bienes. $r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}$ .
Cada hogar comienza con una tupla de propiedades de los productores. $\alpha ^{i,j}\geq 0$ Las propiedades satisfacen $\sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J$ .
El presupuesto que recibe el hogar es la suma de sus ingresos por la venta de bienes al precio de mercado, más las ganancias derivadas de la propiedad de productores: $M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)$ ( $M$ representa dinero )
Cada hogar tiene un conjunto de posibilidades de consumo. ${\mathit {CPS}}^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}$ .
Cada hogar tiene una relación de preferencia $\succeq ^{i}$ encima ${\mathit {CPS}}^{i}$ .
Con supuestos sobre $\succeq ^{i}$ (Como se indica en la siguiente sección), cada relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad. $u^{i}:{\mathit {CPS}}^{i}\to [0,1]$ por los teoremas de Debreu . Así, en lugar de maximizar la preferencia, podemos afirmar de forma equivalente que el hogar está maximizando su utilidad.
Un plan de consumo es un vector en ${\mathit {CPS}}^{i}$ , escrito como $x^{i}$ .
$U_{+}^{i}(x^{i})$ es el conjunto de planes de consumo al menos tan preferible como $x^{i}$ .
El presupuesto establecido es el conjunto de planes de consumo que puede permitirse: $B^{i}(p)=\{x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}$ .
Para cada vector de precios $p$ , el hogar tiene un vector de demanda de productos básicos, como $D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}$ Esta función se define como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. $D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})$ Puede que no esté bien definido para todos. $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que estén bien definidos en los vectores de precios de equilibrio.

productores

Los productores están indexados como $j\in J$ .
Cada productor tiene un conjunto de posibilidades de producción. ${\mathit {PPS}}^{j}$ . Tenga en cuenta que el vector de suministro puede tener coordenadas tanto positivas como negativas. Por ejemplo, $(-1,1,0)$ indica un plan de producción que utiliza 1 unidad del producto 1 para producir 1 unidad del producto 2.
Un plan de producción es un vector en ${\mathit {PPS}}^{j}$ , escrito como $y^{j}$ .
Para cada vector de precios $p$ , el productor tiene un vector de suministro de materias primas, como $S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}$ Esta función se definirá como la solución a un problema de maximización de restricciones. Depende tanto de la economía como de la distribución inicial. $S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$ Puede que no esté bien definido para todos. $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ Sin embargo, utilizaremos suficientes supuestos para que estén bien definidos en los vectores de precios de equilibrio.
La ganancia es $\Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$

agregados

conjunto de posibilidades de consumo agregado ${\mathit {CPS}}=\sum _{i\in I}{\mathit {CPS}}^{i}$ .
conjunto de posibilidades de producción agregadas ${\mathit {PPS}}=\sum _{j\in J}{\mathit {PPS}}^{j}$ .
dotación total $r=\sum _{i}r^{i}$
demanda agregada $D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)$
suministro de agregados $S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)$
exceso de demanda $Z(p)=D(p)-S(p)-r$

toda la economía

Una economía es una tupla $(N,I,J,{\mathit {CPS}}^{i},\succeq ^{i},{\mathit {PPS}}^{j})$ Se trata de una tupla que especifica los productos básicos, las preferencias de los consumidores, los conjuntos de posibilidades de consumo y los conjuntos de posibilidades de producción de los productores.
Una economía con distribución inicial es una economía, junto con una tupla de distribución inicial. $(r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}$ para la economía.
El estado de la economía es una tupla compuesta por precio, planes de consumo y planes de producción para cada hogar y productor: $((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ .
Un estado es factible si y solo si cada $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}$ , cada $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ , y $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$ .
El conjunto de posibilidades de producción factibles, dada la dotación $r$ , es ${\mathit {PPS}}_{r}:=\{y\in {\mathit {PPS}}:y+r\succeq 0\}$ .
Dada una economía con distribución, el estado correspondiente a un vector de precios $p$ es $(p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})$ .
Dada una economía con distribución, un vector de precios $p$ es un vector de precios de equilibrio para la economía con distribución inicial, si y solo si $Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}$ Es decir, si un bien no es gratuito, la oferta es exactamente igual a la demanda, y si un bien es gratuito, la oferta es igual o mayor que la demanda (permitimos que haya un exceso de oferta de un bien gratuito).
Un estado es un estado de equilibrio si y solo si es el estado que corresponde a un vector de precios de equilibrio.

Supuestos

Imponer una restricción artificial

Las funciones $D^{i}(p),S^{j}(p)$ no están necesariamente bien definidos para todos los vectores de precios $p$ . Por ejemplo, si el productor 1 es capaz de transformar $t$ unidades de mercancía 1 en ${\sqrt {(t+1)^{2}-1}}$ unidades del producto 2, y tenemos $p_{1}/p_{2}<1$ , entonces el productor puede crear planes con ganancias infinitas, por lo tanto $\Pi ^{j}(p)=+\infty$ , y $S^{j}(p)$ no está definido.

En consecuencia, definimos " mercado restringido " como el mismo mercado, excepto que existe un límite superior universal. $C$ de tal manera que cada productor está obligado a utilizar un plan de producción. $\|y^{j}\|\leq C$ Cada hogar está obligado a utilizar un plan de consumo. $\|x^{i}\|\leq C$ . Denotemos las cantidades correspondientes en el mercado restringido con una tilde. Así, por ejemplo, ${\tilde {Z}}(p)$ es la función de exceso de demanda en el mercado restringido. ^{[ 8 ]}

$C$ se elige para que sea "lo suficientemente grande" para la economía de modo que la restricción no tenga efecto en condiciones de equilibrio (véase la siguiente sección). En detalle, $C$ se elige de manera que sea lo suficientemente grande como para que:

Para cualquier plan de consumo $x$ de tal manera que $x\succeq 0,\|x\|=C$ El plan es tan "extravagante" que, incluso si todos los productores se coordinaran, aún así no lograrían satisfacer la demanda.
Para cualquier lista de planes de producción para la economía $(y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j})_{j\in J}$ , si $\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0$ , entonces $\|y^{j}\|<C$ para cada $j\in J$ . En otras palabras, para cualquier plan de producción alcanzable bajo la dotación dada $r$ El plan de producción individual de cada productor debe ajustarse estrictamente a la restricción.

Cada requisito es satisfacible.

Definir el conjunto de planes de producción agregados alcanzables que se deben cumplir ${\mathit {PPS}}_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}$ , entonces bajo los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de "no hay almuerzo gratis arbitrariamente grande"), ${\mathit {PPS}}_{r}$ está limitado para cualquier $r\succeq 0$ (demostración omitida). Por lo tanto, el primer requisito es satisfacible.
Definir el conjunto de planes de producción individuales alcanzables que se deben cumplir ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}:=\{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}$ entonces bajo los supuestos para los productores dados anteriormente (especialmente el supuesto de "no hay transformaciones arbitrariamente grandes"), ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}$ está limitado para cualquier $j\in J,r\succeq 0$ (demostración omitida). Por lo tanto, el segundo requisito es satisfacible.

Los dos requisitos en conjunto implican que la restricción no es una restricción real cuando los planes de producción y los planes de consumo son " internos " a la restricción.

A cualquier precio vector $p$ , si $\|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C$ , entonces $S^{j}(p)$ existe y es igual a ${\tilde {S}}^{j}(p)$ En otras palabras, si el plan de producción de un productor restringido es interno a la restricción artificial, entonces el productor no restringido elegiría el mismo plan de producción. Esto se demuestra explotando el segundo requisito en $C$ .
Si todo $S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)$ , entonces los hogares con y sin restricciones tienen el mismo presupuesto. Ahora, si también tenemos $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C$ , entonces $D^{i}(p)$ existe y es igual a ${\tilde {D}}^{i}(p)$ En otras palabras, si el plan de consumo de un hogar restringido es interno a la restricción artificial, entonces el hogar no restringido elegiría el mismo plan de consumo. Esto se demuestra explotando el primer requisito en $C$ .

Estas dos proposiciones implican que los equilibrios para el mercado restringido son equilibrios para el mercado no restringido:

Teorema — Si $p$ Si es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces también es un vector de precios de equilibrio para el mercado no restringido. Además, tenemos ${\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)$ .

existencia de equilibrio general

Como último paso de la construcción, definimos la ley de Walras :

El mercado sin restricciones satisface la ley de Walras en $p$ si todos $S^{j}(p),D^{i}(p)$ están definidos y $\langle p,Z(p)\rangle =0$ , eso es, $\sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle$
El mercado restringido satisface la ley de Walras en $p$ si y solo si $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0$ .

La ley de Walras puede interpretarse de ambas maneras:

En lo que respecta a los hogares, se dice que el gasto total de los hogares es igual a la suma de las ganancias totales y los ingresos totales provenientes de la venta de bienes. En otras palabras, cada hogar gasta la totalidad de su presupuesto.
Desde la perspectiva de los productores, se argumenta que la suma de las ganancias totales más los costos totales equivale a los ingresos totales.

Teorema — ${\tilde {Z}}$ satisface la ley débil de Walras: Para todo $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ , $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$ y si $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0$ , entonces ${\tilde {Z}}(p)_{n}>0$ para algunos $n$ .

Boceto de prueba

Si el valor total de la demanda excedente es exactamente cero, entonces cada hogar ha gastado todo su presupuesto. De lo contrario, algún hogar está restringido a gastar solo una parte de su presupuesto. Por lo tanto, la cesta de consumo de ese hogar está en el límite de la restricción, es decir, $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C$ . Hemos elegido (en la sección anterior) $C$ es tan grande que incluso si todos los productores se coordinaran, aún así no lograrían satisfacer la demanda. En consecuencia, existe algún producto básico. $n$ de tal manera que ${\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}$

Teorema : Existe un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, en cuyo caso dicho mercado satisface la ley de Walras.

Boceto de prueba

Por definición de equilibrio, si $p$ es un vector de precios de equilibrio para el mercado restringido, entonces en ese punto, el mercado restringido satisface la ley de Walras.

${\tilde {Z}}$ es continuo ya que todo ${\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}$ son continuos.

Definir una función $f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}$ en el precio simplex, donde $\gamma$ es una constante positiva fija.

Según la ley de Walras débil, esta función está bien definida. Según el teorema del punto fijo de Brouwer, tiene un punto fijo. Según la ley de Walras débil, este punto fijo es un equilibrio de mercado.

Tenga en cuenta que la demostración anterior no proporciona un algoritmo iterativo para encontrar ningún equilibrio, ya que no hay garantía de que la función $f$ es una contracción . Esto no es sorprendente, ya que no hay garantía (sin suposiciones adicionales) de que cualquier equilibrio de mercado sea un equilibrio estable.

Corolario : Existe un vector de precios de equilibrio para el mercado sin restricciones, en cuyo caso dicho mercado satisface la ley de Walras.

El papel de la convexidad

En 1954, McKenzie y el dúo Arrow y Debreu demostraron independientemente la existencia de equilibrios generales invocando el teorema del punto fijo de Kakutani sobre los puntos fijos de una función continua de un conjunto compacto y convexo en sí mismo . En el enfoque de Arrow-Debreu, la convexidad es esencial, ya que tales teoremas de punto fijo no son aplicables a conjuntos no convexos. Por ejemplo, la rotación del círculo unitario en 90 grados carece de puntos fijos, aunque esta rotación es una transformación continua de un conjunto compacto en sí mismo; si bien el círculo unitario es compacto, no es convexo. En cambio, la misma rotación aplicada a la envoltura convexa del círculo unitario deja el punto (0,0) fijo. Nótese que el teorema de Kakutani no afirma que exista exactamente un punto fijo. Al reflejar el disco unitario sobre el eje y, queda fijo un segmento vertical, de modo que esta reflexión tiene un número infinito de puntos fijos.

No convexidad en grandes economías

La suposición de convexidad excluyó muchas aplicaciones, que fueron discutidas en el Journal of Political Economy de 1959 a 1961 por Francis M. Bator, M. J. Farrell , Tjalling Koopmans y Thomas J. Rothenberg . ^{[ 9 ]} Ross M. Starr ( 1969 ) demostró la existencia de equilibrios económicos cuando algunas preferencias del consumidor no necesitan ser convexas . ^[⁹^] En su artículo, Starr demostró que una economía "convexificada" tiene equilibrios generales que se aproximan estrechamente a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; la demostración de Starr utilizó el teorema de Shapley-Folkman . ^[¹⁰^]

Teorema de equivalencia de Uzawa

( Uzawa , 1962) ^{[ 11 ]} demostró que la existencia de un equilibrio general en una economía caracterizada por una función de exceso de demanda continua que cumple la Ley de Walras es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer. Por lo tanto, el uso del teorema del punto fijo de Brouwer es esencial para demostrar que el equilibrio existe en general. ^{[ 12 ]}

Teoremas fundamentales de la economía del bienestar

En la economía del bienestar, una posible preocupación es encontrar un plan óptimo de Pareto para la economía.

Intuitivamente, se puede considerar que el problema de la economía del bienestar es el problema al que se enfrenta un planificador maestro para toda la economía: dado un dotamiento inicial $r$ Para toda la sociedad, el planificador debe elegir un plan maestro factible de producción y consumo. $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ El planificador principal tiene amplia libertad para elegir el plan maestro, pero cualquier planificador razonable debería estar de acuerdo en que, si la utilidad de alguien aumenta sin disminuir la de los demás, entonces se trata de un mejor plan. Es decir, debe seguirse el orden de Pareto.

Defina el orden de Pareto en el conjunto de todos los planes. $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ por $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})$ si y solo si $x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}$ a pesar de $i\in I$ .

Entonces, decimos que un plan es Pareto-eficiente con respecto a una dotación inicial. $r$ , si y solo si es factible, y no existe otro plan factible que sea estrictamente mejor en el orden de Pareto.

En general, existe un continuo completo de planes Pareto-eficientes para cada dotación inicial. $r$ .

Con esta configuración, tenemos dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar: ^{[ 13 ]}

Primer teorema fundamental de la economía del bienestar : cualquier estado de equilibrio de mercado es Pareto-eficiente.

Boceto de prueba

El hiperplano de precios separa las producciones alcanzables y los consumos Pareto-mejores. Es decir, el hiperplano $\langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle$ coordinados $r+{\mathit {PPS}}_{r}$ y $U_{++}$ , dónde $U_{++}$ es el conjunto de todos $\sum _{i\in I}x'^{i}$ , de tal manera que $\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}$ , y $\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$ . Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente mejores en el sentido de Pareto.

Las producciones alcanzables se sitúan en el extremo inferior del hiperplano de precios, mientras que los consumos óptimos de Pareto se encuentran estrictamente en el extremo superior de dicho hiperplano. Por lo tanto, ningún plan óptimo de Pareto es alcanzable.

Cualquier plan de consumo que sea mejor en el sentido de Pareto debe costar al menos lo mismo para todos los hogares, y costar más para al menos un hogar.
Cualquier plan de producción viable debe generar, como máximo, el mayor beneficio posible para cada productor.

Segundo teorema fundamental de la economía del bienestar : para cualquier dotación total $r$ y cualquier estado Pareto-eficiente alcanzable utilizando esa dotación, existe una distribución de dotaciones $\{r^{i}\}_{i\in I}$ y propiedades privadas $\{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}$ de los productores, de tal manera que el estado dado sea un estado de equilibrio de mercado para algún vector de precios. $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ .

Idea para la demostración: cualquier plan de consumo óptimo de Pareto está separado por un hiperplano del conjunto de planes de consumo alcanzables. La pendiente de este hiperplano corresponde a los precios de equilibrio. Verifique que, bajo dichos precios, cada productor y hogar encontraría el estado óptimo dado. Verifique que se cumple la ley de Walras, de modo que los gastos coinciden con los ingresos más las ganancias, y que es posible proporcionar a cada hogar exactamente el presupuesto necesario.

Prueba

Dado que el estado es alcanzable, tenemos $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$ La igualdad no se cumple necesariamente, por lo que definimos el conjunto de consumos agregados alcanzables. $V:=\{r+y-z:y\in {\mathit {PPS}},z\succeq 0\}$ . Cualquier paquete de consumo agregado en $V$ es alcanzable, y cualquier cosa externa no lo es.

Encuentra el precio de mercado $p$ .

Definir

U_{++}

ser el conjunto de todos

\sum _{i\in I}x'^{i}

, de tal manera que

\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}

, y

\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

. Es decir, es el conjunto de agregados de todos los planes de consumo posibles que son estrictamente mejores en el sentido de Pareto. Dado que cada

{\mathit {CPS}}^{i}

es convexo, y cada preferencia es convexa, el conjunto

U_{++}

también es convexo.

Ahora, dado que el estado es Pareto-óptimo, el conjunto

U_{++}

debe ser inalcanzable con la dotación dada. Es decir,

U_{++}

es disjunto de

V

Dado que ambos conjuntos son convexos, existe un hiperplano separador entre ellos.

Sea el hiperplano definido por

\langle p,q\rangle =c

, dónde

p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0

, y

c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle

. El signo se elige de tal manera que

\langle p,U_{++}\rangle \geq c

y

\langle p,r+{\mathit {PPS}}\rangle \leq c

.

Afirmar: $p\succ 0$ .

Supongamos que no, entonces existe algún

n\in 1:N

de tal manera que

p_{n}<0

. Entonces

\langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c

si

k

es lo suficientemente grande, pero también tenemos

r+0-ke_{n}\in V

, contradicción.

Tenemos por construcción $\langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c$ , y $\langle p,V\rangle \leq c$ Ahora afirmamos: $\langle p,U_{++}\rangle >c$ .

Para cada hogar

i

, dejar

U_{+}^{i}(x^{i})

ser el conjunto de planes de consumo para

i

que sean al menos tan buenos como

x^{i}

, y

U_{++}^{i}(x^{i})

ser el conjunto de planes de consumo para

i

que son estrictamente mejores que

x^{i}

.

Por insaciabilidad local de

\succeq ^{i}

, el semiespacio cerrado

\langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle

contiene

U_{+}^{i}(x^{i})

.

Por continuidad de

\succeq ^{i}

, el semiespacio abierto

\langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle

contiene

U_{++}^{i}(x^{i})

.

Sumándolos, encontramos que el semiespacio abierto

\langle p,q\rangle >c

contiene

U_{++}

.

Afirmación (Ley de Walras): $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$

Dado que la producción es alcanzable, tenemos

r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}

y desde entonces

p\succ 0

, tenemos

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

.

Mediante la construcción del hiperplano separador, también tenemos

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

, por lo tanto tenemos una igualdad.

Reclamación: a precio $p$ , cada productor $j$ maximiza las ganancias en $y^{j}$ ,

Si existe algún plan de producción

y'^{j}

de tal manera que un productor pueda obtener mayores beneficios.

\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle

, entonces

\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c

pero entonces tendríamos un punto en

r+{\mathit {PPS}}

al otro lado del hiperplano separador, violando nuestra construcción.

Reclamación: a precio $p$ y presupuesto $\langle p,x^{i}\rangle$ , familiar $i$ maximiza la utilidad en $x^{i}$ .

De lo contrario, existe alguna

x'^{i}

de tal manera que

x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

y

\langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle

Luego, consideremos la cesta de consumo agregada.

q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}

Está en

U_{++}

pero también satisface

\langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c

. Pero esto contradice la afirmación anterior de que

\langle p,U_{++}\rangle >c

.

Según la ley de Walras, el ingreso y las ganancias totales de la dotación son exactamente iguales al gasto total. Resta distribuirlos de manera que cada hogar reciba lo suficiente. $i$ obtiene exactamente $\langle p,x^{i}\rangle$ como su presupuesto. Esto es trivial.

Aquí hay un algoritmo voraz para hacerlo: primero, distribuya toda la dotación del bien 1 al hogar 1. Si el hogar 1 puede alcanzar su presupuesto antes de distribuir todo, entonces pase al hogar 2. De lo contrario, comience a distribuir toda la dotación del bien 2, y así sucesivamente. De manera similar para las propiedades de los productores.

convexidad frente a convexidad estricta

Los supuestos de convexidad estricta pueden flexibilizarse para permitir la convexidad. Esta modificación transforma las funciones de oferta y demanda de funciones puntuales a funciones multivaluadas (o "correspondencias"), y la aplicación del teorema del punto fijo de Brouwer al teorema del punto fijo de Kakutani.

Esta modificación es similar a la generalización del teorema minimax a la existencia de equilibrios de Nash .

Los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar se mantienen sin modificaciones.

equilibrio versus "cuasi-equilibrio"

La definición de equilibrio de mercado supone que cada hogar realiza una maximización de la utilidad, sujeta a restricciones presupuestarias. Es decir, ${\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}$ El problema dual sería la minimización de costos sujeta a restricciones de utilidad. Es decir, ${\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}$ para algún número real $u_{0}^{i}$ La brecha de dualidad entre los dos problemas es no negativa y puede ser positiva. En consecuencia, algunos autores estudian el problema dual y las propiedades de su "cuasi-equilibrio" ^{[ 14 ]} (o "equilibrio compensado" ^{[ 15 ]} ). Todo equilibrio es un cuasi-equilibrio, pero lo contrario no es necesariamente cierto. ^{[ 15 ]}

Extensiones

Contabilización de la negociación estratégica

En el modelo, todos los productores y hogares son " aceptantes de precios ", lo que significa que realizan transacciones con el mercado utilizando el vector de precios. $p$ En particular, no se modelan comportamientos como cárteles, monopolios, coaliciones de consumidores, etc. El teorema límite de Edgeworth demuestra que, bajo ciertas suposiciones más estrictas, los hogares no pueden obtener mejores resultados que aceptar el precio en el límite de una economía infinitamente grande.

Configuración

En detalle, continuamos con el modelo económico centrado en los hogares y los productores, pero consideramos un método distinto para diseñar la producción y distribución de bienes, diferente al de la economía de mercado. Puede interpretarse como un modelo de economía "socialista".

No existe dinero, mercado ni propiedad privada de los productores.
Dado que hemos abolido la propiedad privada, el dinero y el afán de lucro, no tiene sentido distinguir a un productor de otro. En consecuencia, en lugar de que cada productor planifique individualmente $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ , es como si toda la sociedad tuviera un gran productor que produce $y\in {\mathit {PPS}}$ .
Los hogares siguen teniendo las mismas preferencias y recursos, pero ya no tienen presupuestos.
Los productores no producen para maximizar las ganancias, ya que no hay ganancias. Todos los hogares se unen para hacer un estado. $((x_{i})_{i\in I},y)$ —un plan de producción y consumo para toda la economía—con las siguientes restricciones: $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in {\mathit {PPS}},y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})$
Cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás hogares, manteniendo el control de los productores.

Esta economía es, por lo tanto, un juego cooperativo en el que cada hogar es un jugador, y tenemos los siguientes conceptos de la teoría de juegos cooperativos:

Una coalición de bloqueo es un subconjunto no vacío de hogares, de tal manera que existe un plan estrictamente mejor en el sentido de Pareto, incluso si eliminan a todos los demás hogares.
Un estado es un estado central si y solo si no existen coaliciones que lo bloqueen.
El núcleo de una economía lo constituye el conjunto de estados centrales.

Dado que asumimos que cualquier subconjunto no vacío de hogares puede eliminar a todos los demás, manteniendo el control de los productores, los únicos estados que pueden ejecutarse son los estados centrales. Un estado que no sea un estado central sería inmediatamente rechazado por una coalición de hogares.

Necesitamos una suposición más sobre ${\mathit {PPS}}$ , que es un cono , es decir, $k\cdot {\mathit {PPS}}\subset {\mathit {PPS}}$ para cualquier $k\geq 0$ Esta suposición descarta dos maneras en que la economía podría volverse trivial.

La maldición del almuerzo gratis: En este modelo, todo ${\mathit {PPS}}$ está disponible para cualquier coalición no vacía, incluso una coalición de uno. En consecuencia, si nadie tiene ninguna dotación, y sin embargo ${\mathit {PPS}}$ contiene algo de "almuerzo gratis" $y\succ 0$ , entonces (suponiendo que las preferencias son monótonas) a cada hogar le gustaría tomar todo de $y$ para sí mismo, y por consiguiente no existe ningún estado central. Intuitivamente, la imagen del mundo es la de un comité de personas egoístas que vetan cualquier plan que no les otorgue todo el beneficio.
El límite del crecimiento: Consideremos una sociedad con dos bienes. Uno es el "trabajo" y el otro es el "alimento". Los hogares solo tienen trabajo como recurso, pero solo consumen alimentos. ${\mathit {PPS}}$ Parece una rampa con la parte superior plana. Entonces, invertir de 0 a 1 mil horas de trabajo produce de 0 a 1 mil kg de alimento, linealmente, pero cualquier trabajo adicional no produce alimento. Ahora supongamos que cada hogar está dotado de 1 mil horas de trabajo. Es evidente que cada hogar bloquearía inmediatamente a los demás, ya que siempre es mejor que uno utilice todo el recurso disponible. ${\mathit {PPS}}$ por sí mismo.

Resultados principales (Debreu y Scarf, 1963)

Proposición : Los equilibrios de mercado son estados fundamentales.

Prueba

Defina el hiperplano de precios $\langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle$ . Dado que es un hiperplano de soporte de ${\mathit {PPS}}$ , y ${\mathit {PPS}}$ es un cono convexo, el hiperplano de precios pasa por el origen. Por lo tanto $\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0$ .

Desde $\sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle$ es la ganancia total, y cada productor puede obtener al menos cero ganancias (es decir, $0\in {\mathit {PPS}}^{j}$ ), esto significa que la ganancia es exactamente cero para cada productor. En consecuencia, el presupuesto de cada hogar proviene exactamente de la venta de su patrimonio.

$\langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle$

Mediante la maximización de la utilidad, cada hogar ya está haciendo todo lo que podría. En consecuencia, tenemos $\langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle$ .

En particular, para cualquier coalición $I'\subset I$ y cualquier plan de producción $x'^{i}$ eso es Pareto-mejor, tenemos

$\sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle$ y, en consecuencia, el punto $\sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}$ se sitúa por encima del hiperplano de precios, lo que lo hace inalcanzable.

En el artículo de Debreu y Scarf, definieron una forma particular de abordar una economía infinitamente grande, mediante la "replicación de hogares". Es decir, para cualquier entero positivo $K$ , definir una economía donde hay $K$ hogares que tienen exactamente el mismo conjunto de posibilidades de consumo y preferencias que el hogar $i$ .

Dejar $x^{i,k}$ representar el plan de consumo del $k$ -ésima réplica del hogar $i$ . Defina un plan para que sea equitativo si y solo si $x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}$ para cualquier $i\in I$ y $k,k'\in K$ .

En general, un estado sería bastante complejo, ya que trataría a cada réplica de forma diferente. Sin embargo, los estados centrales son significativamente más simples: son equitativos y tratan a todas las réplicas por igual.

Proposición : Cualquier estado central es equitativo.

Prueba

Utilizamos el término "coalición de los desfavorecidos".

Consideremos un estado central $x^{i,k}$ Definir las distribuciones promedio ${\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}$ .

Es alcanzable, por lo que tenemos $K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$

Supongamos que existe alguna desigualdad, es decir, alguna $x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}$ , entonces por convexidad de preferencias, tenemos ${\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}$ , dónde $k'$ es el hogar peor tratado de tipo $i$ .

Ahora defina la "coalición desfavorecida" que consiste en el hogar peor tratado de cada tipo, y propongan distribuir según ${\bar {x}}^{i}$ Esto es Pareto-mejor para la coalición, y dado que $PP$ es cónico, también tenemos $\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$ , por lo tanto, el plan es alcanzable. Contradicción.

En consecuencia, al estudiar los estados centrales, basta con considerar un plan de consumo para cada tipo de hogar. Ahora bien, definamos $C_{K}$ ser el conjunto de todos los estados centrales para la economía con $K$ réplicas por hogar. Está claro que $C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots$ , por lo que podemos definir el conjunto límite de estados centrales $C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}$ .

Hemos visto que $C$ contiene el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original. Lo contrario es cierto bajo una suposición adicional menor: ^{[ 16 ]}

(Debreu y Scarf, 1963) — Si ${\mathit {PPS}}$ es un cono poligonal, o si cada ${\mathit {CPS}}^{i}$ tiene interior no vacío con respecto a $\mathbb {R} ^{N}$ , entonces $C$ es el conjunto de equilibrios de mercado para la economía original.

La suposición de que ${\mathit {PPS}}$ es un cono poligonal, o cada ${\mathit {CPS}}^{i}$ tiene interior no vacío, es necesario evitar el problema técnico del "cuasi equilibrio". Sin la suposición, solo podemos demostrar que $C$ está contenido en el conjunto de cuasiequilibrios.

Consideración de la no convexidad

La suposición de que los conjuntos de posibilidades de producción son convexos es una restricción fuerte, ya que implica que no hay economías de escala. De manera similar, podemos considerar conjuntos de posibilidades de consumo no convexos y preferencias no convexas. En tales casos, las funciones de oferta y demanda $S^{j}(p),D^{i}(p)$ puede ser discontinuo con respecto al vector de precios, por lo que puede que no exista un equilibrio general.

Sin embargo, podemos "convexificar" la economía, encontrar un equilibrio para ella y, según el teorema de Shapley-Folkman-Starr , este será un equilibrio aproximado para la economía original.

En detalle, dada cualquier economía que satisfaga todos los supuestos dados, excepto la convexidad de ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$ y $\succeq ^{i}$ , definimos la "economía convexificada" como la misma economía, excepto que

${\mathit {PPS}}'^{j}=\mathrm {Conv} ({\mathit {PPS}}^{j})$
${\mathit {CPS}}'^{i}=\mathrm {Conv} ({\mathit {CPS}}^{i})$
$x\succeq '^{i}y$ si y solo si $\forall z\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))$ .

dónde $\mathrm {Conv}$ denota la envoltura convexa .

Con esto, cualquier equilibrio general para la economía convexificada es también un equilibrio aproximado para la economía original. Es decir, si $p^{*}$ es un vector de precios de equilibrio para la economía convexificada, entonces ^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}$ dónde $d(\cdot ,\cdot )$ es la distancia euclidiana, y $L$ es cualquier límite superior en los radios interiores de todos ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$ (Véase la página sobre el teorema de Shapley-Folkman-Starr para la definición de radios interiores).

La economía convexificada puede no satisfacer los supuestos. Por ejemplo, el conjunto $\{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}$ es cerrada, pero su envoltura convexa no lo es. Si imponemos la suposición adicional de que la economía convexificada también satisface las suposiciones, encontramos que la economía original siempre tiene un equilibrio aproximado.

Considerando el tiempo, el espacio y la incertidumbre.

En el modelo de Arrow-Debreu, las mercancías son completamente abstractas. Por lo tanto, aunque generalmente se representa como un mercado estático, puede utilizarse para modelar el tiempo, el espacio y la incertidumbre dividiendo una mercancía en varias, cada una condicionada por un momento, lugar y estado del mundo determinados. Por ejemplo, las "manzanas" pueden dividirse en "manzanas en Nueva York en septiembre si hay naranjas disponibles" y "manzanas en Chicago en junio si no hay naranjas disponibles".

El comercio entre agentes puede modelarse de dos maneras. O bien los valores de Arrow-Debreu se negocian al principio del tiempo, considerando todas las posibles realizaciones de la incertidumbre, y luego no se vuelve a realizar ninguna transacción ; o bien los valores de Arrow se negocian secuencialmente en cada período .

Los valores Arrow-Debreu también se conocen como valores de precio de estado , valores puros o valores primitivos . Son contratos que estipulan el pago de una unidad de un numerario (una moneda o una mercancía) si se da un estado determinado en un momento específico del futuro, y el pago de cero numerarios en todos los demás estados. El precio de este valor es el precio de estado de ese estado particular del mundo. El vector de precios de estado es el vector de precios de estado para todos los estados. ^{[ 18 ]}

Un valor Arrow es un instrumento con un pago fijo de una unidad en un estado específico y ningún pago en otros estados. ^{[ 19 ]}

Ejemplo

Imaginemos un mundo donde mañana son posibles dos estados: paz (P) y guerra (W). Denotemos la variable aleatoria que representa el estado como ω; denotemos la variable aleatoria de mañana como ω₁ _. Así, ω₁ _puede tomar dos valores: ω₁ ₌ P y ω₁ ₌ W.

Imaginemos que:

Existe un valor que paga 1 libra si el estado de mañana es "P" y nada si el estado es "W". El precio de este valor es q _P.
Existe un valor que paga 1 libra si el estado de mañana es "W" y nada si el estado es "P". El precio de este valor es q _W.

Los precios q _P y q _W son los precios de estado.

Los factores que afectan a estos precios estatales son:

"Preferencias temporales para el consumo y la productividad del capital". ^{[ 20 ]} Es decir, que el valor temporal del dinero afecta los precios estatales.
Las probabilidades de ω ₁ =P y ω ₁ =W. Cuanto más probable sea un movimiento a W, mayor será el precio q _{W , ya que q}_W asegura al agente contra la ocurrencia del estado W. El vendedor de este seguro exigiría una prima más alta (si la economía es eficiente).
Las preferencias del agente. Supongamos que el agente tiene una función de utilidad cóncava estándar que depende del estado del mundo. Supongamos que el agente pierde la misma cantidad si el estado es "W" que si el estado fuera "P". Ahora bien, incluso si suponemos que las probabilidades mencionadas anteriormente ω ₁ =P y ω ₁ =W son iguales, los cambios en la utilidad para el agente no lo son: debido a su utilidad marginal decreciente , la ganancia de utilidad de un "dividendo de paz" mañana sería menor que la utilidad perdida por el estado de "guerra". Si nuestro agente fuera racional , pagaría más para asegurarse contra el estado de crisis que su ganancia neta por el estado de prosperidad.

En finanzas

Los precios de estado pueden aplicarse de manera similar en la valoración y cobertura de derivados : un contrato cuyo valor de liquidación es función de un activo subyacente cuyo valor es incierto en la fecha del contrato, puede descomponerse como una combinación lineal de sus valores Arrow-Debreu y, por lo tanto, como una suma ponderada de sus precios de estado; ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} véase Análisis de reclamaciones contingentes . El trabajo de Breeden y Litzenberger en 1978 ^{[ 23 ]} estableció este último uso, más general, de los precios de estado en finanzas.

Desde su trabajo, un gran número de investigadores han utilizado opciones para extraer precios de Arrow-Debreu para una variedad de aplicaciones en economía financiera . ^{[ 24 ]}

De forma análoga, para una variable aleatoria continua que indica un continuo de estados posibles, el valor se encuentra integrando sobre la densidad de precios del estado .

Explicar la existencia del dinero

Aquí no se ofrece ninguna teoría del dinero, y se asume que la economía funciona sin la ayuda de un bien que sirva como medio de intercambio.

— Gérard Debreu, Teoría del valor: Un análisis axiomático del equilibrio económico (1959)

Para el teórico puro, en la coyuntura actual, el aspecto más interesante y desafiante del dinero es que no tiene cabida en una economía de Arrow-Debreu. Esta circunstancia también debería ser de gran importancia para los macroeconomistas, pero rara vez lo es.

— Frank Hahn , Los fundamentos de la teoría monetaria (1987)

Por lo general, los economistas consideran que las funciones del dinero son las de unidad de cuenta, depósito de valor, medio de cambio y estándar de pago diferido. Sin embargo, esto es incompatible con el mercado completo de Arrow-Debreu descrito anteriormente. En el mercado completo, solo existe una transacción única en el mercado "al comienzo del tiempo". Después de eso, los hogares y los productores simplemente ejecutan sus producciones, consumos y entregas de bienes planificadas hasta el final del tiempo. En consecuencia, no hay necesidad de depósito de valor ni de medio de cambio. Esto se aplica no solo al mercado completo de Arrow-Debreu, sino también a modelos (como aquellos con mercados de bienes contingentes y contratos de seguro de Arrow) que difieren en su forma, pero son matemáticamente equivalentes. ^{[ 25 ]}

Cálculo de equilibrios generales

Scarf (1967) ^{[ 26 ]} fue el primer algoritmo que calcula el equilibrio general. Véanse Scarf (2018) ^{[ 27 ]} y Kubler (2012) ^{[ 28 ]} para revisiones.

Número de equilibrios

Ciertas economías con determinados vectores de dotación pueden tener infinitos vectores de precios de equilibrio. Sin embargo, en términos generales, una economía solo tiene un número finito de vectores de precios de equilibrio. Aquí, «en términos generales» significa «en todos los puntos, excepto en un conjunto cerrado de medida de Lebesgue cero», como en el teorema de Sard . ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

Hay muchos teoremas de genericidad de este tipo. Un ejemplo es el siguiente: ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

Genericidad — Para cualquier distribución de dotación estrictamente positiva $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ y cualquier vector de precios estrictamente positivo $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ , definir la demanda excedente $Z(p,r^{1},...,r^{I})$ como antes.

Si en todos $p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ,

$Z(p,r^{1},...,r^{I})$ está bien definido,
$Z$ es diferenciable,
$\nabla _{p}Z$ tiene $(N-1)$ ,

entonces para cualquier distribución de dotación genérica $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ , solo hay un número finito de equilibrios $p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ .

Prueba (boceto)

Definimos la "variedad de equilibrio" como el conjunto de soluciones para $Z=0$ Según la ley de Walras, una de las restricciones es redundante. Por supuestos que $\nabla _{p}Z$ tiene rango $(N-1)$ , ya no hay restricciones redundantes. Por lo tanto, la variedad de equilibrio tiene dimensión $N\times I$ , que es igual al espacio de todas las distribuciones de dotaciones estrictamente positivas $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$ .

Por continuidad de $Z$ , la proyección es cerrada. Por lo tanto, según el teorema de Sard, la proyección desde la variedad de equilibrio a $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$ es crítico solo en un conjunto de medida 0. Resta comprobar que la preimagen de la proyección no es genéricamente solo discreta, sino también finita.

Véase también

Modelo (economía)
Mercados incompletos
Mercado de intercambio Arrow-Debreu : un modelo de mercado más simple, en el que solo hay hogares (que pueden ser tanto compradores como vendedores), pero no productores.
Mercado de Fisher : un modelo de mercado aún más simple, en el que solo hay compradores; se da la cantidad total de cada producto y cada comprador viene solo con un presupuesto monetario.
Lista de artículos sobre valoración de activos
Economía financiera § Fundamentos económicos

Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

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El teorema fundamental de las finanzas ; parte II . Prof. Mark Rubinstein , Haas School of Business.

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[4] Para una exposición de la demostración, véase Takayama, Akira (1985). Economía matemática (2.ª ed.). Londres: Cambridge University Press. págs. 265-274 . ISBN 978-0-521-31498-5.

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[8] La técnica del mercado restringido se describe en (Starr 2011), Sección 18.2. La técnica fue utilizada en la publicación original de Arrow y Debreu (1954).

[s69-9] 1 2 Starr, Ross M. (1969), "Cuasi-equilibrios en mercados con preferencias no convexas (Apéndice 2: El teorema de Shapley-Folkman, págs. 35-37)", Econometrica , 37 (1): 25-38 , CiteSeerX 10.1.1.297.8498 , doi : 10.2307/1909201 , JSTOR 1909201 .

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[11] Uzawa, Hirofumi (1962). "Teorema de existencia de Walras y teorema del punto fijo de Brouwer" .季刊理論経済学. 13 (1): 59– 62. doi : 10.11398/economics1950.13.1_59 .

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