Estáticamente indeterminado

La indeterminación estática es una condición en la que las ecuaciones de equilibrio ( condiciones de equilibrio de fuerza y ​​momento ) son insuficientes para determinar las fuerzas y reacciones internas sobre esa estructura. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El término, y su opuesto, estáticamente determinado , se utilizan en estática , mecánica estructural e ingeniería mecánica .  

Basándose en las leyes del movimiento de Newton , las ecuaciones de equilibrio disponibles para un cuerpo bidimensional son: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0:}$La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. Esto se traduce en:

${\displaystyle \sum \mathbf {H} =0:}$la suma de las componentes horizontales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {V} =0:}$la suma de las componentes verticales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {M} =0:}$La suma de los momentos (respecto a un punto arbitrario) de todas las fuerzas es igual a cero.

En la construcción de viga de la derecha, las cuatro reacciones desconocidas son V _A , V _B , V _C , y H _A . Las ecuaciones de equilibrio son: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}}$

Dado que existen cuatro fuerzas (o variables ) desconocidas ( V _A , V _B , V _C y H _A ) pero solo tres ecuaciones de equilibrio, este sistema de ecuaciones simultáneas no tiene una solución única. Por lo tanto, la estructura se clasifica como estáticamente indeterminada .

Para resolver sistemas estáticamente indeterminados (determinar las diversas reacciones de momento y fuerza dentro de ellos), se consideran las propiedades del material y la compatibilidad en las deformaciones .

Si se elimina el soporte en B , la reacción V _B no puede ocurrir y el sistema se vuelve estáticamente determinado (o isostático ). ^{[ 3 ]} Nótese que el sistema está completamente restringido aquí. El sistema se convierte en un acoplamiento cinemático de restricción exacto . La solución al problema es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}}$

Si, además, el apoyo en A se cambia por un rodillo, el sistema puede moverse horizontalmente, convirtiéndose en un mecanismo en lugar de una estructura, y reduciendo el número de reacciones a tres (sin H _A ). Como resultado, el sistema se vuelve inestable o parcialmente restringido , siendo este último término preferible para distinguir entre esta condición y cuando un sistema en equilibrio se vuelve inestable debido a una perturbación. En este caso, las dos incógnitas V _A y V _C pueden determinarse resolviendo simultáneamente la ecuación de fuerza vertical y la ecuación de momento. La solución produce los mismos resultados que los obtenidos previamente. Sin embargo, no es posible satisfacer la ecuación de fuerza horizontal a menos que F _h = 0 . ^{[ 2 ]}

Descriptivamente, una estructura estáticamente determinada se define como aquella en la que, si es posible encontrar acciones internas en equilibrio con cargas externas, dichas acciones son únicas. La estructura no presenta estados posibles de autoesfuerzo, es decir, no existen fuerzas internas en equilibrio con cargas externas nulas. La indeterminación estática, en cambio, se define como la existencia de una solución no trivial (distinta de cero) al sistema homogéneo de ecuaciones de equilibrio. Esto indica la posibilidad de autoesfuerzo (esfuerzo en ausencia de carga externa) que puede ser inducido por acción mecánica o térmica.

Matemáticamente, esto requiere que la matriz de rigidez tenga rango completo.

Una estructura estáticamente indeterminada solo puede analizarse incluyendo información adicional como las propiedades del material y las deflexiones. Numéricamente, esto se puede lograr mediante análisis estructurales matriciales, el método de elementos finitos (MEF) o el método de distribución de momentos ( Hardy Cross ).

En la práctica, se dice que una estructura está "estáticamente sobredeterminada" cuando comprende más restricciones mecánicas , como paredes, columnas o pernos , de las que son absolutamente necesarias para su estabilidad.  

• Cristiano Otto Mohr
• Método de flexibilidad
• Determinación cinemática
• Mecanismo sobrelimitado
• Ingeniería estructural

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