Punto estacionario

En matemáticas , particularmente en cálculo , un punto estacionario de una función diferenciable de una variable es un punto en la gráfica de la función donde la derivada de la función es cero. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} De manera informal, es un punto donde la función "deja" de crecer o decrecer (de ahí su nombre).

Para una función diferenciable de varias variables reales , un punto estacionario es un punto en la superficie de la gráfica donde todas sus derivadas parciales son cero (equivalentemente, el gradiente tiene norma cero ). La noción de puntos estacionarios de una función de valores reales se generaliza como puntos críticos para funciones de valores complejos .

Los puntos estacionarios son fáciles de visualizar en la gráfica de una función de una variable: corresponden a los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal (es decir, paralela al eje x ). Para una función de dos variables, corresponden a los puntos de la gráfica donde el plano tangente es paralelo al plano xy .

La noción de punto estacionario permite la descripción matemática de un fenómeno astronómico que permanecía sin explicación antes de la época de Copérnico . Un punto estacionario es aquel en la trayectoria aparente del planeta sobre la esfera celeste donde su movimiento parece detenerse, antes de reanudarse en la dirección opuesta (véase movimiento retrógrado aparente ). Esto se produce debido a la proyección de la órbita del planeta sobre el círculo de la eclíptica .

Un punto de inflexión de una función diferenciable es un punto en el que la derivada tiene un cero aislado y cambia de signo en dicho punto. ^{[ 2 ]} Un punto de inflexión puede ser un máximo relativo o un mínimo relativo (también conocido como mínimo y máximo local). Un punto de inflexión es, por lo tanto, un punto estacionario, pero no todos los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Si la función es dos veces diferenciable, los puntos estacionarios aislados que no son puntos de inflexión son puntos de inflexión horizontales . Por ejemplo, la función${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$tiene un punto estacionario en x = 0 , que también es un punto de inflexión, pero no un punto de giro. ^{[ 3 ]}

Puntos estacionarios aislados de un${\displaystyle C^{1}}$función de valor real${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$Se clasifican en cuatro tipos, según la prueba de la primera derivada :

• Un mínimo local ( punto de inflexión mínimo o mínimo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de negativa a positiva;
• Un máximo local ( punto de inflexión máximo o máximo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de positiva a negativa;

• un punto de inflexión ascendente (o inflexión ) es aquel donde la derivada de la función es positiva a ambos lados del punto estacionario; dicho punto marca un cambio en la concavidad ;
• Un punto de inflexión descendente (o punto de inflexión ) es aquel en el que la derivada de la función es negativa a ambos lados del punto estacionario; dicho punto marca un cambio en la concavidad.

Las dos primeras opciones se conocen colectivamente como " extremos locales ". De manera similar, un punto que es un máximo global (o absoluto) o un mínimo global (o absoluto) se denomina extremo global (o absoluto). Las dos últimas opciones —puntos estacionarios que no son extremos locales— se conocen como puntos de silla .

Según el teorema de Fermat , deben ocurrir extremos globales (para un${\displaystyle C^{1}}$función) en el límite o en puntos estacionarios.

Determinar la posición y la naturaleza de los puntos estacionarios ayuda a trazar curvas de funciones diferenciables. Resolver la ecuación f ′ ( x ) = 0 devuelve las coordenadas x de todos los puntos estacionarios; las coordenadas y son trivialmente los valores de la función en esas coordenadas x . La naturaleza específica de un punto estacionario en x puede determinarse en algunos casos examinando la segunda derivada f ″ ( x ):

• Si f ″ ( x ) < 0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia abajo; un extremo máximo.
• Si f ″ ( x ) > 0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia arriba; un extremo mínimo.
• Si f ″ ( x ) = 0, la naturaleza del punto estacionario debe determinarse por otros medios, a menudo observando un cambio de signo alrededor de ese punto.

Una forma más sencilla de determinar la naturaleza de un punto estacionario es examinando los valores de la función entre los puntos estacionarios (si la función está definida y es continua entre ellos).

Un ejemplo sencillo de punto de inflexión es la función f ( x ) = x³ . Hay un cambio claro de concavidad alrededor del punto x = 0, y podemos demostrarlo mediante cálculo diferencial . La segunda derivada de f es 6x , que ^es continua en todas partes , y en x = 0, f '' = 0, y el signo cambia alrededor de este punto. Por lo tanto, x = 0 es un punto de inflexión.

De forma más general, los puntos estacionarios de una función de valor real.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$son aquellos puntos x ₀ donde la derivada en cada dirección es igual a cero, o equivalentemente, el gradiente es cero.

• Optimización (matemáticas)
• Teorema de Fermat
• Prueba de derivada
• Punto fijo (matemáticas)
• Punto de silla

• Puntos de inflexión de polinomios de cuarto grado: una sorprendente aparición de la proporción áurea en el punto de inflexión.