Potencia de respuesta dirigida

Consideremos un sistema de${\displaystyle M}$micrófonos, donde cada micrófono se denota por un subíndice${\displaystyle m\in \{1,\dots ,M\}}$La señal de salida de tiempo discreto de un micrófono es${\displaystyle s_{m}(n)}$. La potencia de respuesta dirigida (SRP) (sin ponderar) en un punto espacial${\displaystyle \mathbf {x} =[x,y,z]^{\mathsf {T}}}$puede expresarse como $${\displaystyle P_{0}(\mathbf {x} )\triangleq \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|\sum _{m=1}^{M}s_{m}{\big (}n-\tau _{m}(\mathbf {x} ){\big )}\right|^{2},}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {Z} }$denota el conjunto de números enteros, y${\displaystyle \tau _ {m}(\mathbf {x} )}$sería el retardo de tiempo debido a la propagación desde una fuente ubicada en${\displaystyle \mathbf {x} }$hacia${\displaystyle m}$-el micrófono.

El SRP (ponderado) se puede reescribir como $${\displaystyle P(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m_{1}=1}^{M}\sum _{m_{2}=1}^{M}\int _{-\pi }^{\pi }\Phi _{m_{1},m_{2}}(e^{j\omega })S_{m_{1}}(e^{j\omega })S_{m_{2}}^{*}(e^{j\omega })e^{j\omega \tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )}\,d\omega }$$ dónde${\displaystyle ()^{*}}$denota conjugación compleja ,${\displaystyle S_{m}(e^{j\omega })}$representa la transformada de Fourier de tiempo discreto de${\displaystyle s_{m}(n)}$, y${\displaystyle \Phi _{m_{1},m_{2}}(e^{j\omega })}$es una función de ponderación en el dominio de la frecuencia (que se discutirá más adelante). El término${\displaystyle \tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )}$es la diferencia de tiempo discreta de llegada (TDOA) de una señal emitida en la posición${\displaystyle \mathbf {x} }$a los micrófonos${\displaystyle m_{1}}$y${\displaystyle m_{2}}$, dado por $${\displaystyle \tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )\triangleq \left\lfloor f_{s}{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{m_{1}}\|-\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{m_{2}}\|}{c}}\right\rceil ,}$$ dónde${\displaystyle f_{s}}$es la frecuencia de muestreo del sistema,${\displaystyle c}$es la velocidad de propagación del sonido ,${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$es la posición de la${\displaystyle m}$-el micrófono,${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma 2 , y${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$denota el operador de redondeo.

La función objetivo SRP anterior puede expresarse como una suma de correlaciones cruzadas generalizadas (GCC) para los diferentes pares de micrófonos en el retardo temporal correspondiente a su TDOA. $${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\sum _{m_{1}=1}^{M}\sum _{m_{2}=1}^{M}R_{m_{1},m_{2}}(\tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )),}$$ donde el GCC para un par de micrófonos${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$se define como $${\displaystyle R_{m_{1},m_{2}}(\tau )\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\Phi _{m_{1},m_{2}}(e^{j\omega })S_{m_{1}}(e^{j\omega })S_{m_{2}}^{*}(e^{j\omega })e^{j\omega \tau }\,d\omega .}$$

La transformada de fase (PHAT) es una ponderación GCC efectiva para la estimación del retardo de tiempo en entornos reverberantes, que obliga a la GCC a considerar únicamente la información de fase de las señales involucradas: $${\displaystyle \Phi _{m_{1},m_{2}}(e^{j\omega })\triangleq {\frac {1}{|S_{m_{1}}(e^{j\omega })S_{m_{2}}^{*}(e^{j\omega })|}}.}$$

El algoritmo SRP-PHAT consiste en un procedimiento de búsqueda en cuadrícula que evalúa la función objetivo.${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$en una cuadrícula de ubicaciones de origen candidatas${\displaystyle {\mathcal {G}}}$para estimar la ubicación espacial${\displaystyle {\textbf {x}}_{s}}$de la fuente sonora como el punto de la cuadrícula que proporciona el SRP máximo: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{s}=\arg \max _{\mathbf {x} \in {\mathcal {G}}}P(\mathbf {x} ).}$$

Los límites de acumulación pueden calcularse de antemano de forma exacta explorando los límites que separan las regiones correspondientes a los puntos de la cuadrícula. Alternativamente, pueden seleccionarse considerando el gradiente espacial del TDOA.${\displaystyle \nabla _{\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )=[\nabla _{x\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} ),\nabla _{y\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} ),\nabla _{z\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )]^{\mathsf {T}}}$donde cada componente${\displaystyle \gamma \in \{x,y,z\}}$del gradiente es $${\displaystyle \nabla _{\gamma \tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )={\frac {1}{c}}\left({\frac {\gamma -\gamma _{m_{1}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{m_{1}}\|}}-{\frac {\gamma -\gamma _{m_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{m_{2}}\|}}\right).}$$

Para una cuadrícula rectangular donde los puntos vecinos están separados por una distancia${\displaystyle r}$Los límites de acumulación inferior y superior vienen dados por $${\displaystyle L_{m_{1},m_{2}}^{l}(\mathbf {x} )=\tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )-\|\nabla _{\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )\|\cdot d,}$$$${\displaystyle L_{m_{1},m_{2}}^{u}(\mathbf {x} )=\tau _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {x} )+\|\nabla _{\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )\|\cdot d,}$$ dónde $${\displaystyle d={\frac {r}{2}}\min \left({\frac {1}{|\sin(\theta )\cos(\phi )|}},{\frac {1}{|\sin(\theta )\sin(\phi )|}},{\frac {1}{|\cos(\theta )|}}\right),}$$ y los ángulos de dirección del gradiente vienen dados por $${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\nabla _{z\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )}{\|\nabla _{\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )\|}}\right),}$$$${\displaystyle \phi =\arctan _{2}\left(\nabla _{y\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} ),\nabla _{x\tau _{m_{1},m_{2}}}(\mathbf {x} )\right).}$$