Grupo de Steinberg (teoría K)

Una presentación concreta utilizando generadores y relaciones es la siguiente. Matrices elementales — es decir, matrices de la forma${\displaystyle {e_{pq}}(\lambda):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda)}$, dónde${\displaystyle \mathbf {1} }$es la matriz identidad,${\displaystyle {a_{pq}}(\lambda )}$es la matriz con${\displaystyle \lambda }$en el${\displaystyle (p,q)}$-entrada y ceros en otros lugares, y${\displaystyle p\neq q}$— satisfacen las siguientes relaciones, denominadas relaciones de Steinberg :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{para }}i\neq k;\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{para }}i\neq l{\text{ y }}j\neq k.\end{aligned}}}$

El inestable grupo de Steinberg de orden${\displaystyle r}$encima${\displaystyle A}$, denotado por${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}$, se define mediante los generadores${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda)}$, dónde${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$y${\displaystyle \lambda \in A}$, estos generadores están sujetos a las relaciones de Steinberg. El grupo de Steinberg estable , denotado por${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$es el límite directo del sistema${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}$También puede considerarse como el grupo de Steinberg de orden infinito.

Cartografía${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )}$produce un homomorfismo de grupo${\displaystyle \varphi$ :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)} . Como las matrices elementales generan el subgrupo conmutador , esta aplicación es sobreyectiva sobre el subgrupo conmutador.

El grupo de Steinberg es el grupo fundamental del espacio de Volodin , que es la unión de espacios clasificadores de los subgrupos unipotentes de${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$.

${\displaystyle {K_{1}}(A)}$es el conúcleo del mapa${\displaystyle \varphi$ :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)} , como${\displaystyle K_{1}}$es la abelianización de${\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$y el mapeo${\displaystyle \varphi }$es sobreyectiva sobre el subgrupo conmutador.

${\displaystyle {K_{2}}(A)}$es el centro del grupo de Steinberg. Esta fue la definición de Milnor, y también se deduce de definiciones más generales de mayor${\displaystyle K}$-grupos.

También es el núcleo del mapeo.${\displaystyle \varphi$ :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)} . De hecho, existe una secuencia exacta

${\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.}$

De forma equivalente, es el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales , por lo que también es un grupo de homología :${\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}$.

Gersten (1973) demostró que${\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}$.