Problema de cálculo de Steiner

El problema de Steiner , planteado y respondido por Steiner (1850), es el problema de encontrar el máximo de la función

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}.\,}$^[1]

Lleva el nombre de Jakob Steiner .

El máximo está en , donde e denota la base del logaritmo natural . Se puede determinar que al resolver el problema equivalente de maximizar ${\displaystyle x=e}$

${\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.}$

Aplicando la prueba de la primera derivada , la derivada de es ${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},}$

por lo que es positivo para y negativo para , lo que implica que – y por lo tanto – es creciente para y decreciente para Por lo tanto, es el máximo global único de${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle 0<x<e}$${\displaystyle x>e}$${\estilo de visualización g(x)}$${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle 0<x<e}$${\displaystyle x>e.}$${\displaystyle x=e}$${\estilo de visualización f(x).}$

• Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 40 : 208