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Articulo de referencia

Teorema de las tres brechas

En matemáticas, el teorema de las tres brechas , el teorema de las tres distancias o la conjetura de Steinhaus afirma que si uno coloca norte {\displaystyle n} puntos en un círc...

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En matemáticas, el teorema de las tres brechas , el teorema de las tres distancias o la conjetura de Steinhaus afirma que si uno colocanorte{\displaystyle n}puntos en un círculo, en ángulos deθ,2θ,3θ,...{\displaystyle \theta ,2\theta ,3\theta ,...}Desde el punto de partida, habrá como máximo tres distancias distintas entre pares de puntos en posiciones adyacentes alrededor del círculo. Cuando hay tres distancias, la mayor de las tres siempre es igual a la suma de las otras dos. [ 1 ] A menos queθ{\displaystyle \theta }es un múltiplo racional deπ{\displaystyle \pi }, también habrá al menos dos distancias distintas.

Este resultado fue conjeturado por Hugo Steinhaus y demostrado en la década de 1950 por Vera T. Sós , János Surányi y Stanisław Świerczkowski ; posteriormente, otros investigadores añadieron más demostraciones. Entre las aplicaciones del teorema de los tres huecos se incluyen el estudio del crecimiento de las plantas y los sistemas de afinación musical, así como la teoría de la reflexión de la luz en un cuadrado espejado.

Declaración

El teorema de los tres huecos se puede expresar geométricamente en términos de puntos en un círculo. En esta forma, establece que si uno colocanorte{\displaystyle n}puntos en un círculo, en ángulos deθ,2θ,…,norteθ{\displaystyle \theta ,2\theta ,\dots ,n\theta }Desde el punto de partida, habrá como máximo tres distancias distintas entre pares de puntos en posiciones adyacentes alrededor del círculo. Una forma equivalente y más algebraica involucra las partes fraccionarias de múltiplos de un número real . Establece que, para cualquier número real positivoα{\displaystyle \alpha }y enteronorte{\displaystyle n}, las partes fraccionarias de los númerosα,2α,…,norteα{\displaystyle \alpha ,2\alpha ,\dots ,n\alpha }divide el intervalo unitario en subintervalos con como máximo tres longitudes diferentes. Los dos problemas son equivalentes bajo una correspondencia lineal entre el intervalo unitario y la circunferencia del círculo, y una correspondencia entre el número realα{\displaystyle \alpha }y el ánguloθ=2πα{\displaystyle \theta =2\pi \alpha }. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

Aplicaciones

Crecimiento de las plantas

Vista frontal de un tallo de planta en la que las hojas consecutivas están separadas por el ángulo áureo.

En el estudio de la filotaxis , la disposición de las hojas en los tallos de las plantas, se ha observado que cada hoja sucesiva en los tallos de muchas plantas se orienta con respecto a la hoja anterior según el ángulo áureo , aproximadamente137,5∘{\displaystyle 137.5^{\circ }}Se ha sugerido que este ángulo maximiza la capacidad de captación de luz solar de las hojas de la planta. [ 5 ] Si se observa de frente un tallo de planta que ha crecido de esta manera, habrá como máximo tres ángulos distintos entre dos hojas consecutivas en el orden cíclico dado por esta vista frontal. [ 6 ]

Los puntos espaciados en el ángulo áureo a lo largo de una espiral de Fermat (centro) están espaciados de manera más uniforme que en otros ángulos.

Por ejemplo, en la figura, el mayor de estos tres ángulos ocurre tres veces, entre las hojas numeradas 3 y 6, entre las hojas 4 y 7, y entre las hojas 5 y 8. El segundo ángulo más grande ocurre cinco veces, entre las hojas 6 y 1, 9 y 4, 7 y 2, 10 y 5, y 8 y 3. Y el ángulo más pequeño ocurre solo dos veces, entre las hojas 1 y 9 y entre las hojas 2 y 10. El fenómeno de tener tres tipos de espacios distintos depende solo del hecho de que el patrón de crecimiento utiliza un ángulo de rotación constante, y no de la relación de este ángulo con la proporción áurea ; el mismo fenómeno ocurriría para cualquier otro ángulo de rotación, y no solo para el ángulo áureo. Sin embargo, otras propiedades de este patrón de crecimiento sí dependen de la proporción áurea. Por ejemplo, el hecho de que la proporción áurea sea un número difícil de aproximar implica que los puntos espaciados en este ángulo a lo largo de la espiral de Fermat (como lo son en algunos modelos de crecimiento de plantas) forman un conjunto de Delone ; Intuitivamente, esto significa que están espaciados uniformemente. [ 7 ]

Teoría musical

Los tonos de la afinación pitagórica se representan como puntos del círculo cromático . Los bordes indican las quintas perfectas utilizadas para construir la afinación; los dos intervalos más largos entre puntos consecutivos representan semitonos , y el intervalo corto donde el dodecagrama no se cierra es la coma pitagórica .

En teoría musical , un intervalo musical describe la relación de frecuencia entre dos tonos musicales . Los intervalos se consideran comúnmente consonantes o armoniosos cuando son la relación de dos números enteros pequeños; por ejemplo, la octava corresponde a la relación 2:1, mientras que la quinta justa corresponde a la relación 3:2. [ 8 ] Dos tonos se consideran comúnmente equivalentes cuando difieren en un número entero de octavas; esta equivalencia se puede representar geométricamente mediante el círculo cromático , cuyos puntos representan clases de tonos equivalentes. Matemáticamente, este círculo se puede describir como el círculo unitario en el plano complejo , y el punto en este círculo que representa un tono dado se puede obtener mediante el mapeo de la frecuenciaν{\displaystyle \nu }al número complejoexp⁡(2πiregistro2⁡ν){\textstyle \exp(2\pi i\log _ {2}\nu )}. Un intervalo con razónρ{\displaystyle \rho }corresponde al ángulo2πregistro2⁡ρ{\displaystyle 2\pi \log _{2}\rho }entre puntos en este círculo, lo que significa que dos tonos musicales difieren en el intervalo dado cuando sus dos puntos en el círculo difieren en este ángulo. Por ejemplo, esta fórmula da2π{\displaystyle 2\pi }(un círculo completo) como el ángulo correspondiente a una octava. Debido a que 3/2 no es una potencia racional de dos , el ángulo en el círculo cromático que representa una quinta justa no es un múltiplo racional de2π{\displaystyle 2\pi }y de manera similar, otros intervalos musicales comunes distintos de la octava no se corresponden con ángulos racionales. [ 9 ]

Un sistema de afinación es un conjunto de tonos que se utilizan para componer e interpretar música. Por ejemplo, el temperamento igual, comúnmente usado para el piano , es un sistema de afinación que consta de 12 tonos espaciados uniformemente alrededor del círculo cromático. Otros sistemas de afinación no espacian sus tonos de manera uniforme, sino que los generan mediante múltiplos consecutivos de un intervalo dado. Un ejemplo es la afinación pitagórica , que se construye a partir de doce tonos generados como múltiplos consecutivos de una quinta justa en el círculo de quintas . El ángulo irracional que forma una quinta justa en el círculo cromático es cercano a 7/12 de círculo, por lo que los doce tonos de la afinación pitagórica son cercanos, pero no idénticos, a los doce tonos del temperamento igual, que podrían generarse de la misma manera utilizando un ángulo de exactamente 7/12 de círculo. [ 10 ] En lugar de estar espaciados en ángulos de exactamente 1/12 de círculo, como lo estarían los tonos del temperamento igual, los tonos de la afinación pitagórica están separados por intervalos de dos ángulos diferentes, cercanos pero no exactamente a 1/12 de círculo, que representan dos tipos diferentes de semitonos . [ 11 ] Si el sistema de afinación pitagórica se extendiera con una quinta perfecta más, a un conjunto de 13 tonos, entonces la secuencia de intervalos entre sus tonos incluiría un tercer intervalo, mucho más corto, la coma pitagórica . [ 12 ]

En este contexto, el teorema de las tres brechas puede utilizarse para describir cualquier sistema de afinación generado de esta manera por múltiplos consecutivos de un único intervalo. Algunos de estos sistemas de afinación (como el temperamento igual) pueden tener solo un intervalo que separe los pares de tonos más cercanos, y otros (como la afinación pitagórica) pueden tener solo dos intervalos diferentes que separen los tonos, pero el teorema de las tres brechas implica que siempre hay como máximo tres intervalos diferentes que separan los tonos. [ 13 ] [ 14 ]

Reflejo especular

En la palabra de Fibonacci , un ejemplo de palabra de Sturm , hay cuatro subsecuencias distintas de longitud 3 (en orden de izquierda a derecha): 010, 100, 001 y 101.

Una palabra de Sturm es una secuencia infinita de dos símbolos (por ejemplo, "H" y "V") que describe la secuencia de reflexiones horizontales y verticales de un rayo de luz dentro de un cuadrado reflejado, comenzando a lo largo de una línea de pendiente irracional. De manera equivalente, la misma secuencia describe la secuencia de líneas horizontales y verticales de la cuadrícula de enteros que son cruzadas por la línea de partida. Una propiedad que tienen todas estas secuencias es que, para cualquier entero positivonorte{\displaystyle n}, la secuencia tiene exactamentenorte+1{\displaystyle n+1}subsecuencias consecutivas distintas de longitudnorte{\displaystyle n}Cada subsecuencia aparece infinitamente a menudo con una cierta frecuencia, y el teorema de los tres huecos implica que estasnorte+1{\displaystyle n+1}Las subsecuencias ocurren con un máximo de tres frecuencias distintas. Si hay tres frecuencias, entonces la frecuencia más grande debe ser igual a la suma de las otras dos. Una prueba de este resultado implica particionar las intersecciones con el eje y de las líneas iniciales (módulo 1) ennorte+1{\displaystyle n+1}subintervalos dentro de los cuales el inicialnorte{\displaystyle n}Los elementos de la secuencia son los mismos, y se aplica el teorema de las tres brechas a esta partición. [ 15 ] [ 16 ]

Historia y prueba

El teorema de las tres brechas fue conjeturado por Hugo Steinhaus , y sus primeras [ 17 ] demostraciones fueron encontradas a finales de la década de 1950 por Vera T. Sós , [ 18 ] János Surányi , [ 19 ] y Stanisław Świerczkowski . [ 20 ] Investigadores posteriores publicaron demostraciones adicionales, [ 21 ] generalizando este resultado a dimensiones superiores [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] y conectándolo con temas que incluyen fracciones continuas , [ 4 ] [ 26 ] simetrías y geodésicas de variedades riemannianas , [ 27 ] teoría ergódica , [ 28 ] y el espacio de retículos planares . [ 3 ] Mayero (2000) formaliza una demostración utilizando el demostrador de teoremas interactivo Rocq (luego: Coq ) . [ 2 ]

La siguiente demostración sencilla se debe a Frank Liang. Seaθ{\displaystyle \theta }sea ​​el ángulo de rotación que genera un conjunto de puntos como algún número de múltiplos consecutivos deθ{\displaystyle \theta }en un círculo. Defina un hueco como un arco.A{\displaystyle A}del círculo que se extiende entre dos puntos adyacentes del conjunto dado, y definimos un hueco como rígido si sus extremos aparecen más tarde en la secuencia de múltiplos deθ{\displaystyle \theta }que cualquier otro hueco de la misma longitud. De esta definición se deduce que cada hueco tiene la misma longitud que un hueco rígido. SiA{\displaystyle A}es una brecha rígida, entoncesA+θ{\displaystyle A+\theta } no es un hueco, porque tiene la misma longitud y estaría un paso más tarde. Las únicas formas de que esto ocurra son para uno de los extremos deA{\displaystyle A}ser el último punto en la secuencia de múltiplos deθ{\displaystyle \theta }(de modo que el punto final correspondiente deA+θ{\displaystyle A+\theta }falta) o para que uno de los puntos dados caiga dentroA+θ{\displaystyle A+\theta }, evitando que sea un hueco. Un punto solo puede aterrizar dentro deA+θ{\displaystyle A+\theta }si es el primer punto en la secuencia de múltiplos deθ{\displaystyle \theta }, porque de lo contrario su predecesor en la secuencia aterrizaría dentroA{\displaystyle A}, contradiciendo la suposición de queA{\displaystyle A}es un hueco. Por lo tanto, puede haber como máximo tres huecos rígidos: los dos a cada lado del último punto y aquel en el que aterrizaría el predecesor del primer punto (si formara parte de la secuencia). Dado que hay como máximo tres huecos rígidos, hay como máximo tres longitudes de huecos. [ 29 ] [ 30 ]

La demostración de Liang muestra además que, cuando hay exactamente tres longitudes de hueco, la longitud de hueco más larga es la suma de las otras dos. Porque, en este caso, la copia rotada A+θ{\displaystyle A+\theta }que tiene el primer punto está dividido por ese punto en dos huecos más pequeños, que deben ser los otros dos huecos. [ 29 ] [ 30 ] Liang también demuestra un resultado más general, el "3d{\displaystyle 3d}teorema de la distancia", según el cual la unión ded{\displaystyle d}diferentes progresiones aritméticas en un círculo tienen como máximo3d{\displaystyle 3d}diferentes longitudes de brecha. [ 29 ] En el teorema de las tres brechas, existe una cota constante en las razones entre las tres brechas, si y solo siθ/2π{\displaystyle \theta /2\pi }es un número difícil de aproximar . [ 7 ]

Un teorema estrechamente relacionado pero anterior, también llamado teorema de las tres brechas, es que siA{\displaystyle A}es cualquier arco del círculo, entonces la secuencia entera de múltiplos deθ{\displaystyle \theta }esa tierra enA{\displaystyle A}tiene como máximo tres longitudes de huecos entre valores de secuencia. Nuevamente, si hay tres longitudes de hueco, entonces una es la suma de las otras dos. [ 31 ] [ 32 ]

Véase también

Referencias

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  2. 1 2 Mayero, Micaela (2000), "El teorema de las tres brechas (conjetura de Steinhaus)", Types for Proofs and Programs: International Workshop, TYPES'99, Lökeberg, Suecia, 12-16 de junio de 1999, Artículos seleccionados , Lecture Notes in Computer Science, vol. 1956, Springer, pp. 162-173 , arXiv : cs/0609124 , doi : 10.1007/3-540-44557-9_10 , ISBN   978-3-540-41517-6, S2CID 3228597 
  3. 1 2 Marklof, Jens; Strömbergsson, Andreas (2017), "El teorema de las tres brechas y el espacio de retículos", The American Mathematical Monthly , 124 (8): 741– 745, arXiv : 1612.04906 , doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , hdl : 1983/b5fd0feb-e42d-48e9-94d8-334b8dc24505 , JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.8.741 , MR 3706822 , S2CID 119670663   
  4. 1 2 van Ravenstein, Tony (1988), "El teorema de las tres brechas (conjetura de Steinhaus)", Journal of the Australian Mathematical Society , Serie A, 45 (3): 360– 370, doi : 10.1017/S1446788700031062 , MR 0957201 
  5. ↑ Adam, John A. (2011), A Mathematical Nature Walk , Princeton University Press, pp. 35–41 , ISBN  9781400832903
  6. ↑ van Ravenstein, Tony (1987), "Secuencias numéricas y filotaxis", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 36 (2): 333, doi : 10.1017/s0004972700026605
  7. 1 2 Akiyama, Shigeki (marzo de 2020), "Conjuntos espirales de Delone y teorema de tres distancias", Nonlinearity , 33 (5): 2533– 2540, arXiv : 1904.10815 , Bibcode : 2020Nonli..33.2533A , doi : 10.1088/1361-6544/ab74ad , S2CID 129945118 
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  16. ↑ Alessandri, Pascal; Berthé, Valérie (1998), "Tres teoremas de distancia y combinatoria de palabras" , L'Enseignement mathématique , 44 ( 1– 2): 103– 132, SEÑOR 1643286 ; véase en particular la Sección 2.1, "Complejidad y frecuencias de las codificaciones de rotaciones"
  17. ^ Haynes, Alan; Marklof, Jens (2020), "Problemas de Steinhaus y Slater de dimensiones superiores mediante dinámica homogénea", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 53 (2): 537– 557, arXiv : 1707.04094 , doi : 10.24033/asens.2427 , MR 4094564 , S2CID 67851217 , Las primeras pruebas de este hecho notable fueron publicadas en 1957 por Sós, en 1958 por Surányi y en 1959 por Świerczkowski.  
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  20. ↑ Świerczkowski, S. (1959), "Sobre los ajustes sucesivos de un arco en la circunferencia de un círculo", Fundamenta Mathematicae , 46 (2): 187– 189, doi : 10.4064/fm-46-2-187-189 , MR 0104651 
  21. ↑ Estas demostraciones son brevemente analizadas y clasificadas por Marklof y Strömbergsson (2017) , de donde se toma la siguiente clasificación de estas demostraciones y muchas de sus referencias.
  22. ↑ Halton, John H. (1965), "La distribución de la secuencia{norteξ}(norte=0,1,2,…){\displaystyle \{n\xi \}\,(n=0,\,1,\,2,\,\ldots )}", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 61 (3): 665– 670, doi : 10.1017/S0305004100039013 , MR 0202668 , S2CID 123400321  
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  30. 1 2 Shiu, Peter (2018), "Una nota al pie del teorema de las tres brechas", The American Mathematical Monthly , 125 (3): 264– 266, doi : 10.1080/00029890.2018.1412210 , MR 3768035 , S2CID 125810745  
  31. ↑ Slater, NB (1950), "La distribución de los enterosnorte{\displaystyle N}para quéθnorte<ϕ{\displaystyle \theta N<\phi }", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 46 (4): 525– 534, doi : 10.1017/S0305004100026086 , MR 0041891 , S2CID 120454265  
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