Respuesta escalonada

La función de transferencia del amplificador de dos polos conduce a la ganancia en lazo cerrado:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

La dependencia temporal del amplificador es fácil de descubrir cambiando las variables a s = j ω, con lo cual la ganancia se convierte en:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Los polos de esta expresión (es decir, los ceros del denominador) se encuentran en:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

lo que muestra que para valores suficientemente grandes de βA ₀ la raíz cuadrada se convierte en la raíz cuadrada de un número negativo, es decir, la raíz cuadrada se vuelve imaginaria, y las posiciones de los polos son números complejos conjugados, ya sea s ₊ o s ₋ ; ver Figura 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

con

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

y

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

Utilizando coordenadas polares con la magnitud del radio a las raíces dada por | s | (Figura 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

y la coordenada angular φ viene dada por:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

Las tablas de transformadas de Laplace muestran que la respuesta temporal de dicho sistema se compone de combinaciones de las dos funciones:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

es decir, las soluciones son oscilaciones amortiguadas en el tiempo. En particular, la respuesta al escalón unitario del sistema es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

lo cual se simplifica a

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

cuando A ₀ tiende a infinito y el factor de retroalimentación β es uno.

Nótese que la amortiguación de la respuesta viene determinada por ρ, es decir, por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto. En cambio, la frecuencia de oscilación viene determinada por μ, es decir, por el parámetro de retroalimentación a través de β A ₀ . Dado que ρ es una suma de los recíprocos de las constantes de tiempo, resulta interesante observar que ρ está dominada por la más corta de las dos.

La figura 3 muestra la respuesta temporal a una entrada escalón unitario para tres valores del parámetro μ. Se observa que la frecuencia de oscilación aumenta con μ, pero las oscilaciones se encuentran entre las dos asíntotas definidas por las exponenciales [  1  −  exp(− ρt )  ] y [  1  +  exp(−ρt)  ]. Estas asíntotas están determinadas por ρ y, por lo tanto, por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto, independientemente de la retroalimentación.

El fenómeno de oscilación alrededor del valor final se denomina oscilación radial . El sobreimpulso es la máxima desviación por encima del valor final y aumenta claramente con μ. De igual modo, el subimpulso es la mínima desviación por debajo del valor final, que también aumenta con μ. El tiempo de estabilización es el tiempo que tardan las desviaciones del valor final en descender por debajo de un nivel determinado, por ejemplo, el 10 % del valor final.

La dependencia del tiempo de estabilización con respecto a μ no es evidente, y la aproximación de un sistema de dos polos probablemente no sea lo suficientemente precisa como para extraer conclusiones prácticas sobre la dependencia del tiempo de estabilización con la retroalimentación. Sin embargo, las asíntotas [  1  −  exp(− ρt )  ] y [  1  +  exp  (− ρt )  ] influyen claramente en el tiempo de estabilización, y están controladas por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto, en particular la más corta. Esto sugiere que la especificación del tiempo de estabilización debe cumplirse mediante un diseño adecuado del amplificador de lazo abierto.

Las dos principales conclusiones de este análisis son:

1. La retroalimentación controla la amplitud de oscilación alrededor del valor final para un amplificador de lazo abierto dado y valores dados de constantes de tiempo de lazo abierto, τ ₁ y τ ₂ .
2. El amplificador de lazo abierto determina el tiempo de estabilización. Este establece la escala de tiempo de la Figura 3, y cuanto más rápido sea el amplificador de lazo abierto, más rápida será dicha escala de tiempo.

Cabe señalar, a modo de aclaración, que las desviaciones en el mundo real de este modelo lineal de dos polos se deben a dos complicaciones importantes: primero, los amplificadores reales tienen más de dos polos, además de ceros; y segundo, los amplificadores reales no son lineales, por lo que su respuesta escalón cambia con la amplitud de la señal.

A continuación se analiza cómo se puede controlar el sobreimpulso mediante la selección adecuada de parámetros.

Utilizando las ecuaciones anteriores, la cantidad de sobreimpulso se puede encontrar derivando la respuesta al escalón y hallando su valor máximo. El resultado para la respuesta máxima al escalón S _max es: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

El valor final de la respuesta al escalón es 1, por lo que la exponencial es el sobreimpulso real en sí. Es evidente que el sobreimpulso es cero si μ = 0, que es la condición:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación cuadrática se resuelve para la razón de las constantes de tiempo estableciendo x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 con el resultado

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

Como β A ₀ ≫ 1, se puede eliminar el 1 de la raíz cuadrada y el resultado es

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

En otras palabras, la primera constante de tiempo debe ser mucho mayor que la segunda. Para ser más audaces que un diseño que no permita sobreimpulsos, podemos introducir un factor α en la relación anterior:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

y sea α el valor que determine la cantidad de sobreimpulso aceptable.

La figura 4 ilustra el procedimiento. Al comparar el panel superior (α = 4) con el panel inferior (α  =  0,5) se observa que valores más bajos de α aumentan la velocidad de respuesta, pero también el sobreimpulso. El caso α  =  2 (panel central) es el diseño más plano que no muestra picos en el gráfico de ganancia de Bode frente a frecuencia . Este diseño incorpora un margen de seguridad para lidiar con realidades no ideales como polos (o ceros) múltiples, no linealidad (dependencia de la amplitud de la señal) y variaciones de fabricación, cualquiera de las cuales puede provocar un sobreimpulso excesivo. El ajuste de la separación de polos (es decir, la configuración de  α) es el objeto de la compensación de frecuencia , y uno de estos métodos es la división de polos .

La amplitud de la oscilación en la respuesta escalón de la Figura 3 está regida por el factor de amortiguación exp(− ρt ). Es decir, si especificamos una desviación aceptable de la respuesta escalón con respecto al valor final, digamos Δ, entonces:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

Esta condición se satisface independientemente del valor de β A _OL siempre que el tiempo sea mayor que el tiempo de asentamiento, digamos t _S , dado por: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

donde τ ₁  ≫  τ ₂ es aplicable debido a la condición de control de sobreimpulso, que hace que τ ₁  = αβA _OL τ ₂ . A menudo, la condición de tiempo de establecimiento se denomina diciendo que el período de establecimiento es inversamente proporcional al ancho de banda de ganancia unitaria, porque 1/(2 π τ ₂ ) está cerca de este ancho de banda para un amplificador con compensación típica de polo dominante . Sin embargo, este resultado es más preciso que esta regla general . Como ejemplo de esta fórmula, si Δ = 1/e ⁴ = 1,8 %, la condición de tiempo de establecimiento es t _S = 8 τ ₂ .      

En general, el control del sobreimpulso establece la relación de la constante de tiempo, y el tiempo de establecimiento t _S establece  τ ₂ . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Este método utiliza puntos significativos de la respuesta escalón. No es necesario adivinar las tangentes a la señal medida. Las ecuaciones se derivan mediante simulaciones numéricas, determinando algunas relaciones significativas y parámetros de ajuste de ecuaciones no lineales. Véase también ^{[ 8 ] .}

Aquí están los pasos:

• Medir la respuesta escalón del sistema${\displaystyle y(t)}$del sistema con una señal de paso de entrada${\displaystyle x(t)}$.
• Determinar los intervalos de tiempo${\displaystyle t_{25}}$y${\displaystyle t_{75}}$donde la respuesta escalón alcanza el 25% y el 75% del valor de salida en estado estacionario.
• Determinar la ganancia en estado estacionario del sistema${\displaystyle k=A_{0}}$con${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• Calcular$${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$$${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$$${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• Determina las dos constantes de tiempo.$${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$$${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• Calcular la función de transferencia del sistema identificado en el dominio de Laplace.$${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

A continuación, la elección de la relación de polos τ ₁ / τ ₂ está relacionada con el margen de fase del amplificador de retroalimentación. ^{[ 9 ]} Se sigue el procedimiento descrito en el artículo sobre el diagrama de Bode . La Figura 5 muestra el diagrama de ganancia de Bode para el amplificador de dos polos en el rango de frecuencias hasta la posición del segundo polo. La suposición detrás de la Figura 5 es que la frecuencia f _{0  dB} se encuentra entre el polo más bajo en f ₁  =  1/(2πτ ₁ ) y el segundo polo en f ₂  =  1/(2πτ ₂ ). Como se indica en la Figura 5, esta condición se cumple para valores de  α  ≥  1.

Utilizando la Figura 5, se encuentra la frecuencia (denotada por f _{0  dB ) donde la ganancia de bucle β} A ₀ satisface la condición de ganancia unitaria o 0  dB, según se define por:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

La pendiente de la rama descendente de la gráfica de ganancia es (20  dB/década); por cada factor de diez de aumento en la frecuencia, la ganancia disminuye en el mismo factor:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

El margen de fase es la desviación de la fase en f _{= 0  dB} con respecto a -180°. Por lo tanto, el margen es:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

Dado que f _{0  dB} / f ₁ = βA ₀ ≫ 1, el término en f ₁ es de 90°. Esto hace que el margen de fase sea:   

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

En particular, para el caso α = 1, φ _m = 45°, y para α = 2, φ _m = 63,4°. Sansen ^{[ 10 ]} recomienda α = 3, φ _m = 71,6° como una "buena posición de seguridad para empezar".

Si α aumenta acortando τ₂ , el tiempo de estabilización _tS también se acorta. Si α aumenta alargando τ₁ , el tiempo de estabilización tS apenas se modifica. Lo más habitual es que tanto _{τ₁ como τ₂} cambien , por ejemplo, si se utiliza la técnica de _división de _polos .

Como nota al margen, para un amplificador con más de dos polos, el diagrama de la Figura 5 aún puede ajustarse a los diagramas de Bode haciendo de f ₂ un parámetro de ajuste, denominado posición de "segundo polo equivalente". ^{[ 11 ]}