Estereorradián

El estereorradián (símbolo: sr ) o radián cuadrado ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} es la unidad de ángulo sólido en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Se utiliza en geometría tridimensional y es análogo al radián , que cuantifica ángulos planos . Un ángulo sólido en forma de cono circular puede proyectarse sobre una esfera desde su centro, delineando una calota esférica donde el cono interseca la esfera. La magnitud del ángulo sólido expresada en estereorradianes se define como el cociente entre el área de la superficie de la calota esférica y el cuadrado del radio de la esfera. Esto es análogo a cómo un ángulo plano proyectado sobre un círculo delinea un arco circular en la circunferencia, cuya longitud es proporcional al ángulo. Los estereorradianes pueden utilizarse para medir un ángulo sólido de cualquier forma proyectada. El ángulo sólido subtendido es el mismo que el de un cono con la misma área proyectada. Un ángulo sólido de un estereorradián subtiende una abertura cónica de aproximadamente 1,144 radianes o 65,54 grados.

En el SI, el ángulo sólido se considera una magnitud adimensional , la razón entre el área proyectada sobre una esfera circundante y el cuadrado del radio de la esfera. Este es el número de radianes cuadrados en el ángulo sólido. Esto significa que el estereorradián del SI es el número de radianes cuadrados en un ángulo sólido igual a un radián cuadrado, que por supuesto es el número uno. Es útil distinguir entre magnitudes adimensionales de otro tipo , como el radián (en el SI, una razón de magnitudes de dimensión longitud), por lo que se utiliza el símbolo sr. Por ejemplo, la intensidad radiante se puede medir en vatios por estereorradián (W⋅sr⁻¹ ⁾ . El estereorradián era antiguamente una unidad suplementaria del SI , pero esta categoría se abolió en 1995 y ahora el estereorradián se considera una unidad derivada del SI .

El nombre estereorradián deriva del griego στερεός stereos 'sólido' + radian.

Definición

Un estereorradián se define como el ángulo sólido subtendido en el centro de una esfera unitaria por un área unitaria $($ de cualquier forma) en su superficie. Para una esfera general de radio $r$ , cualquier porción de su superficie con área $A = r²$ subtiende un estereorradián en su centro. ^{[ 3 ]}

Un ángulo sólido en forma de cono circular está relacionado con el área que recorta de una esfera:

\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\ {\text{sr}}\,={\frac {2\pi h}{r}}\ {\text{sr}},

dónde

$Ω$ es el ángulo sólido
$A$ es el área de la superficie del casquete esférico , $2 πrh$ ,
$r$ es el radio de la esfera,
$h$ es la altura de la tapa, y
sr es la unidad, estereorradián; sr = rad ² .

Dado que el área superficial $A$ de una esfera es $4πr²$ , la definición implica que una esfera subtiende $4π estereorradianes$ (≈ 12,56637 sr $)$ en su centro, o que un estereorradián subtiende $1/$ $4π$ $\approx$ 0,07958 de una esfera. Siguiendo el mismo razonamiento, el ángulo sólido máximo que puede subtenderse en cualquier punto es $4π sr$ .

Otras propiedades

El área de una calota esférica es $A = 2πrh$ , donde $h$ es la "altura" de la calota. Si $A = r²,$ entonces $h$ $/$ $r$ $=$ $1$ $/$ $2π$ $.$ A partir de esto, se puede calcular la apertura del cono (un ángulo plano) $2θ$ $de$ la sección transversal de un cono esférico $simple$ $cuyo$ $ángulo sólido es igual$ $a$ un estereorradián:

\theta =\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right),

lo que da $θ$ ≈ 0,572 rad = 32,77° y apertura $2 θ$ ≈ 1,144 rad = 65,54°.

El ángulo sólido de un cono esférico cuya sección transversal subtiende el ángulo $2θ$ $es$ :

\Omega =2\pi (1-\cos \theta ){\text{ sr}}=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\text{ sr}}.

$Un$ $estereorradián$ también es igual a $1$ $/$ $4π$ $de$ una esfera completa ( spat ), $a$ $($ $360$ $°$ $/$ $2π$ $)$ $²$ $.$ ≈ 3282,80635 grados cuadrados , y al área esférica de un polígono con un exceso de ángulo de 1 radián.

múltiplos del SI

Los miliestereorradianes (msr) y los microestereorradianes (μsr) se utilizan ocasionalmente para describir haces de luz y partículas . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Otros múltiplos se utilizan raramente.

Véase también

Referencias

↑ Stutzman, Warren L; Thiele, Gary A (22 de mayo de 2012). Teoría y diseño de antenas . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9.
↑ Woolard, Edgar (2 de diciembre de 2012). Astronomía esférica . Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9.
↑ «Esteradiano», Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos , quinta edición, Sybil P. Parker, editora jefe. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5.
↑ Stephen M. Shafroth; James Christopher Austin (1997), Física atómica basada en aceleradores: técnicas y aplicaciones , pág. 333, ISBN 1563964848
↑ R. Bracewell, Govind Swarup, "La antena espectroheliográfica de microondas de Stanford, un interferómetro de haz de lápiz microestereorradián" IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22–30 (1961)

Enlaces externos

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[1] Stutzman, Warren L; Thiele, Gary A (22 de mayo de 2012). Teoría y diseño de antenas . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9.

[2] Woolard, Edgar (2 de diciembre de 2012). Astronomía esférica . Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9.

[3] «Esteradiano», Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos , quinta edición, Sybil P. Parker, editora jefe. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5.

[4] Stephen M. Shafroth; James Christopher Austin (1997), Física atómica basada en aceleradores: técnicas y aplicaciones , pág. 333, ISBN 1563964848

[5] R. Bracewell, Govind Swarup, "La antena espectroheliográfica de microondas de Stanford, un interferómetro de haz de lápiz microestereorradián" IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22–30 (1961)

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