Álgebra topológica

En matemáticas , un álgebra topológica${\displaystyle A}$es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraica y topológica son coherentes en un sentido específico.

Un álgebra topológica${\displaystyle A}$sobre un campo topológico${\displaystyle K}$es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal

${\displaystyle \cdot :A\times A\to A}$,

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

que se convierte${\displaystyle A}$en un álgebra sobre${\displaystyle K}$y es continua en algún sentido definido. Por lo general, la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes):

• continuidad conjunta : ^{[ 1 ]} para cada entorno de cero${\displaystyle U\subsetequ A}$hay barrios de cero${\displaystyle V\subsetae}$y${\displaystyle W\subsetae}$de tal manera que${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$(en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como una aplicación entre espacios topológicos${\displaystyle A\times A\to A}$), o
• continuidad de estereotipos : ^{[ 2 ]} para cada conjunto totalmente acotado${\displaystyle S\subseteq A}$y para cada vecindario de cero${\displaystyle U\subsetequ A}$hay un vecindario de cero${\displaystyle V\subsetae}$de tal manera que${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$y${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$, o
• continuidad separada : ^{[ 3 ]} para cada elemento${\displaystyle a\in A}$y para cada vecindario de cero${\displaystyle U\subsetequ A}$hay un vecindario de cero${\displaystyle V\subsetae}$de tal manera que${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$y${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$.

(Ciertamente, la continuidad conjunta implica la continuidad del estereotipo, y la continuidad del estereotipo implica la continuidad separada). En el primer caso${\displaystyle A}$se denomina " álgebra topológica con multiplicación continua conjunta " y, por último, " con multiplicación continua por separado ".

Un álgebra topológica asociativa unitaria se denomina (a veces) anillo topológico .

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación conjuntamente continua.

2. Las álgebras de Banach son casos especiales de las álgebras de Fréchet .

3. Las álgebras estereotípicas son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua estereotípica.

• Álgebra topológica en el Laboratorio n

• Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080871356.
• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica" . Journal of Mathematical Sciences . 113 (2): 179– 349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067 . 
• Mallios, A. (1986). Álgebras topológicas . Ámsterdam: North Holland. ISBN 9780080872353.
• Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Ámsterdam: North Holland. ISBN 9780080543086.
• Fragoulopoulou, M. (2005). Álgebras topológicas con involución . Ámsterdam: North Holland. ISBN 9780444520258.