Teorema de dilatación de Stinespring

En matemáticas , el teorema de dilatación de Stinespring , también llamado teorema de factorización de Stinespring , nombrado en honor a W. Forrest Stinespring , es un resultado de la teoría de operadores que representa cualquier aplicación completamente positiva en un álgebra C* -A como una composición de dos aplicaciones completamente positivas, cada una de las cuales tiene una forma especial:

Una *-representación de A en algún espacio de Hilbert auxiliar K seguida de
Un mapa de operadores de la forma T ↦ V*TV .

Además, el teorema de Stinespring es un teorema de estructura de un álgebra C* al álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Se demuestra que las aplicaciones completamente positivas son simples modificaciones de las *-representaciones, o a veces llamadas *-homomorfismos .

Formulación

En el caso de un álgebra C* unitaria , el resultado es el siguiente:

Teorema . Sea A un álgebra C* unitaria, H un espacio de Hilbert y B ( H ) los operadores acotados en H. Para cada C*-álgebra completamente positiva

\Phi :A\to B(H),

Existe un espacio de Hilbert K y un *-homomorfismo unitario.

\pi :A\a B(K)

de tal manera que

\Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,

dónde

V:H\to K

es un operador acotado. Además, tenemos

\|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.

De manera informal, se puede decir que cada mapa completamente positivo $\Phi$ puede ser " elevado " a un mapa de la forma $V^{*}(\cdot )V$ .

El recíproco del teorema es trivialmente cierto. Por lo tanto, el resultado de Stinespring clasifica las aplicaciones completamente positivas.

Bosquejo de prueba

Ahora esbozaremos brevemente la demostración. $K=A\otimes H$ . Para $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$ , definir

\langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}

y se extiende por semilinealidad a todo K. Esta es una forma sesquilineal hermitiana porque $\Phi$ es compatible con la operación *. Positividad completa de $\Phi$ Luego se utiliza para demostrar que esta forma sesquilineal es de hecho semidefinida positiva. Dado que las formas sesquilineales hermíticas semidefinidas positivas satisfacen la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el subconjunto

K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K

es un subespacio. Podemos eliminar la degeneración considerando el espacio cociente. $K/K'$ . La completitud de este espacio cociente es entonces un espacio de Hilbert, también denotado por $K$ . A continuación, define $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ y $Vh=1_{A}\otimes h$ . Uno puede comprobar que $\pi$ y $V$ poseen las propiedades deseadas.

Observa que $V$ es simplemente la incrustación algebraica natural de H en K. Se puede verificar que $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ sostiene. En particular $V^{\ast }V=\Phi (1)$ se sostiene de manera que $V$ es una isometría si y solo si $\Phi (1)=1$ . En este caso, H puede incrustarse, en el sentido del espacio de Hilbert, en K y $V^{\ast }$ , actuando sobre K , se convierte en la proyección sobre H. Simbólicamente, podemos escribir

\Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.

En el lenguaje de la teoría de la dilatación , esto significa que $\Phi (a)$ es una compresión de $\pi (a)$ . Por lo tanto, es un corolario del teorema de Stinespring que todo mapa completamente positivo unitario es la compresión de algún *-homomorfismo .

Minimalismo

La terna ( $π$ , V , K ) se denomina representación de Stinespring de Φ. Una pregunta natural ahora es si se puede reducir una representación de Stinespring dada en algún sentido.

Sea K ₁ el espacio lineal cerrado generado por $π$ ( A ) VH . Por la propiedad de las *-representaciones en general, K ₁ es un subespacio invariante de $π$ ( a ) para todo a . Además, K ₁ contiene a VH . Definimos

\pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.

Podemos calcularlo directamente

{\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}

y si k y ℓ están en K ₁

{\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}

Así pues, ( $π$ ₁ , V , K ₁ ) es también una representación de Stinespring de Φ y tiene la propiedad adicional de que K ₁ es el espacio lineal cerrado generado por $π$ ( A ) VH . Dicha representación se denomina representación mínima de Stinespring .

Unicidad

Sean ( $π$ ₁ , V ₁ , K ₁ ) y ( $π$ ₂ , V ₂ , K ₂ ) dos representaciones de Stinespring de un Φ dado. Definamos una isometría parcial W : K ₁ → K ₂ mediante

\;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.

En V ₁H ⊂ K ₁ , esto da la relación de entrelazamiento

\;W\pi _{1}=\pi _{2}W.

En particular, si ambas representaciones de Stinespring son mínimas, W es unitaria . Por lo tanto, las representaciones mínimas de Stinespring son únicas salvo una transformación unitaria.

Algunas consecuencias

Mencionamos algunos de los resultados que pueden considerarse consecuencias del teorema de Stinespring. Históricamente, algunos de los resultados que se presentan a continuación precedieron al teorema de Stinespring.

Construcción GNS

La construcción de Gelfand–Naimark–Segal (GNS) es la siguiente. Sea H en el teorema de Stinespring unidimensional, es decir, los números complejos . Entonces Φ ahora es un funcional lineal positivo en A . Si suponemos que Φ es un estado , es decir, Φ tiene norma 1, entonces la isometría $V:H\to K$ está determinado por

V1=\xi

para algunos $\xi \in K$ de norma unitaria . Entonces

{\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}

y hemos recuperado la representación GNS de los estados. Esta es una forma de ver que los mapas completamente positivos, en lugar de los meramente positivos, son las verdaderas generalizaciones de los funcionales positivos .

Un funcional positivo lineal en un álgebra C* es absolutamente continuo con respecto a otro funcional de este tipo (llamado funcional de referencia) si es cero en cualquier elemento positivo en el que el funcional positivo de referencia sea cero. Esto conduce a una generalización no conmutativa del teorema de Radon-Nikodym . El operador de densidad usual de estados en las álgebras de matrices con respecto a la traza estándar no es más que la derivada de Radon-Nikodym cuando el funcional de referencia se elige como la traza. Belavkin introdujo la noción de continuidad absoluta completa de una aplicación completamente positiva con respecto a otra aplicación (de referencia) y demostró una variante de operador del teorema de Radon-Nikodym no conmutativo para aplicaciones completamente positivas. Un caso particular de este teorema, correspondiente a una aplicación de referencia completamente positiva con traza en las álgebras de matrices, conduce al operador de Choi como una derivada de Radon-Nikodym de una aplicación CP con respecto a la traza estándar (véase el teorema de Choi).

Teorema de Choi

Man-Duen Choi demostró que si $\Phi :B(G)\to B(H)$ es completamente positivo, donde G y H son espacios de Hilbert de dimensión finita de dimensiones n y m respectivamente, entonces Φ toma la forma:

\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.

Esto se llama el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos . Choi lo demostró usando técnicas de álgebra lineal, pero su resultado también puede verse como un caso especial del teorema de Stinespring: Sea ( $π$ , V , K ) una representación mínima de Stinespring de Φ. Por minimalidad, K tiene una dimensión menor que la de $C^{n\times n}\otimes C^{m}$ . Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, K puede identificarse con

K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.

Cada $C_{i}^{n}$ es una copia del espacio de Hilbert n -dimensional. Desde $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ , vemos que la identificación anterior de K se puede organizar de la siguiente manera $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$ , donde P _i es la proyección de K a $C_{i}^{n}$ . Dejar $V_{i}=P_{i}V$ . Tenemos

\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}

Y el resultado de Choi queda demostrado.

El resultado de Choi es un caso particular del teorema de Radon-Nikodym no conmutativo para mapas completamente positivos (CP) correspondientes a un mapa de referencia completamente positivo trazal en las álgebras de matrices. En forma de operador fuerte, este teorema general fue demostrado por Belavkin en 1985, quien mostró la existencia del operador de densidad positivo que representa un mapa CP completamente absolutamente continuo con respecto a un mapa CP de referencia. La unicidad de este operador de densidad en la representación de Steinspring de referencia se deduce simplemente de la minimalidad de dicha representación. Por lo tanto, el operador de Choi es la derivada de Radon-Nikodym de un mapa CP de dimensión finita con respecto a la traza estándar.

Nótese que, al demostrar el teorema de Choi, así como el teorema de Belavkin a partir de la formulación de Stinespring, el argumento no proporciona explícitamente los operadores de Kraus V _i , a menos que se expliciten las distintas identificaciones de espacios. Por otro lado, la demostración original de Choi implica el cálculo directo de dichos operadores.

Teorema de dilatación de Naimark

El teorema de Naimark afirma que toda medida débilmente numerable y aditiva con valores en B ( H ) sobre algún espacio compacto de Hausdorff X puede ser "elevada" de modo que se convierta en una medida espectral . Esto se puede demostrar combinando el hecho de que C ( X ) es un álgebra C* conmutativa con el teorema de Stinespring.

Teorema de dilatación de Sz.-Nagy

Este resultado establece que toda contracción en un espacio de Hilbert tiene una dilatación unitaria con la propiedad de minimalidad.

Solicitud

En la teoría de la información cuántica , los canales cuánticos , u operaciones cuánticas , se definen como aplicaciones completamente positivas entre C*-álgebras. El teorema de Stinespring, al ser una clasificación para todas estas aplicaciones, es importante en este contexto. Por ejemplo, la unicidad del teorema se ha utilizado para clasificar ciertas clases de canales cuánticos.

Para la comparación de diferentes canales y el cálculo de sus fidelidades mutuas e información, resulta útil otra representación de los canales mediante sus derivadas de "Radon-Nikodym" introducidas por Belavkin. En el caso de dimensión finita, el teorema de Choi, como variante traza del teorema de Radon-Nikodym de Belavkin para aplicaciones completamente positivas, también es relevante. Los operadores $\{V_{i}\}$ de la expresión

\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.

se denominan operadores de Kraus de Φ. La expresión

\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}

A veces se le llama la representación de suma de operadores de Φ.

Referencias

M.-D. Choi, Aplicaciones lineales completamente positivas en matrices complejas , Álgebra lineal y sus aplicaciones, 10, 285 – 290 (1975).
VP Belavkin, P. Staszewski, Teorema de Radon-Nikodym para mapas completamente positivos , Informes sobre física matemática, vol. 24, n.º 1, 49-55 (1986).
V. Paulsen, Mapas completamente acotados y álgebras de operadores , Cambridge University Press, 2003.
WF Stinespring, Funciones positivas en C*-álgebras , Actas de la Sociedad Matemática Americana, 6, 211 – 216 (1955).